Comptes Rendus
no. 7
Derivative with respect to discontinuities in the porosity
[Dérivée par rapport aux discontinuités du coefficient de porosité]
Christine Bernardi1 ; Olivier Pironneau2
1 Laboratoire Jacques-Louis Lions, CNRS, 175, rue du Chevaleret, Paris 75013, France
2 Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, 175, rue du Chevaleret, Paris 75013, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 7, pp. 661-666.

Nous étudions la dérivabilité de la solution de l'équation de Darcy par rapport à la porosité dans le cas où celle-ci est constante par morceaux. La variable est donc la position de la ligne de discontinuité de la porosité. Nous montrons que la dérivée existe et que pour la calculer le problème doit être posé sous forme variationnelle mixte. La dérivée est solution d'un problème identique avec une masse de Dirac au second membre. Des calculs numériques préliminaires sont donnés pour illustrer le résultat théorique et un problème d'identification de porosité discontinue est résolu par une méthode de gradient.

We investigate the sensitivity of hydrostatic pressure of flows through porous media with respect to the position of the soil layers. Indeed, these induce discontinuities of the porosity which is a piecewise constant coefficient κ of the partial differential equation satisfied by the pressure u and it leads to the computation of the derivative of u with respect to changes in position of discontinuity surfaces of κ. The analysis relies on a mixed formulation of the problem. Preliminary numerical simulations are given to illustrate the theory. An application to a simple inverse problem is also given.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02534-7
Christine Bernardi 1 ; Olivier Pironneau 2

1 Laboratoire Jacques-Louis Lions, CNRS, 175, rue du Chevaleret, Paris 75013, France
2 Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, 175, rue du Chevaleret, Paris 75013, France 
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Christine Bernardi; Olivier Pironneau. Derivative with respect to discontinuities in the porosity. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 7, pp. 661-666. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02534-7. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02534-7/

[1] Y. Achdou, C. Bernardi, F. Coquel, F. Archambeau, B. Gest, Discrétisation par volumes finis des équations de Darcy, Rapport EDF HI-83/00/043/A, 2001

[2] G. Allaire Shape Optimization by the Homogenization Method, Springer-Verlag, New York, 2001

[3] M. Azaı̈ez; C. Bernardi; M. Grundmann Méthodes spectrales pour les équations du milieu poreux, East-West J. Numer. Anal., Volume 2 (1994), pp. 91-105

[4] C. Bernardi, O. Pironneau, Sensitivity of Darcy's law to discontinuities, Chinese Ann. Math., 2002, submitted

[5] A.M. Bruaset; B.F. Nielsen On the stability of pressure and velocity computations for heterogeneous reservoirs, SIAM J. Appl. Math., Volume 56 (1996) no. 4, pp. 991-1007

[6] F. Hecht, freefem++, a general purpose finite element software allowing serval types of finite elements in one program, to appear

[7] O. Pironneau Optimal Shape Design of Elliptic Systems, Lecture Notes in Comput. Phys., Springer-Verlag, 1983

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