Comptes Rendus
no. 11
On the exceptional series, and its descendants
[La série exceptionnelle, et sa descendance]
Pierre Deligne1 ; Benedict H. Gross2
1 School of Mathematics, IAS, Princeton, NJ 08540, USA
2 Department of Mathematics, Harvard University, Cambridge, MA 02138, USA
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 11, pp. 877-881.

Les articles [1–3] exhibent des ressemblances entre les propriétés des représentations adjointes des groupes de la série exceptionnelle. Nous obtenons des ressemblances analogues pour certaines représentations préférées de séries de sous-groupes. L'algèbre tensorielle de ces représentations est plus accessible (cf. [4,5,7]). Ceci pourrait aider à comprendre ce qui se passe.

Les sous-groupes en question forment un « triangle magique » qui prolonge le carré magique d'algèbres de Lie de Freudenthal. Nous décrivons ces sous-groupes en termes de paires duales, et leur représentations préférées en termes de leur action sur l'algèbre de Lie du groupe de la série exceptionnelle ambiant.

Many of the striking similarities which occur for the adjoint representation of groups in the exceptional series (cf. [1–3]) also occur for certain representations of specific reductive subgroups. The tensor algebras on these representations are easier to describe (cf. [4,5,7]), and may offer clues to the original situation.

The subgroups which occur form a Magic Triangle, which extends Freudenthal's Magic Square of Lie algebras. We describe these groups from the perspective of dual pairs, and their representations from the action of the dual pair on an exceptional Lie algebra.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02590-6

Pierre Deligne 1 ; Benedict H. Gross 2

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Pierre Deligne; Benedict H. Gross. On the exceptional series, and its descendants. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 11, pp. 877-881. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02590-6. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02590-6/

[1] A.M. Cohen; R. de Man Computational evidence for Deligne's conjecture regarding exceptional Lie groups, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 322 (1996), pp. 427-432

[2] P. Deligne La série exceptionnelle de groupes de Lie, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 322 (1996), pp. 321-326

[3] P. Deligne; R. de Man La série exceptionnelle de groupes de Lie II, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 323 (1996), pp. 577-582

[4] B. Gross; N. Wallach A distinguished family of unitary representations for the exceptional groups of real rank =4, Lie Theory and Geometry, Birkhäuser, 1994, pp. 289-304

[5] G.W. Schwarz Invariant theory of G2 and Spin7, Comment. Math. Helv., Volume 63 (1988), pp. 624-663

[6] M.A.A. van Leeuwen, A.M. Cohen, B. Lisser, LiE, a package for Lie group computations, CAN, Amsterdam, 1992

[7] H. Wenzl Tensor categories of Lie type EN, Adv. Math. (2002)

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