[Une méthode de lagrangien augmenté pour la résolution numérique du problème de Monge–Ampère elliptique en dimension deux avec conditions de Dirichlet]
L'objet essentiel de cette Note est l'étude d'une méthode pour la résolution numérique du problème de Dirichlet pour l'équation de Monge–Ampère elliptique en dimension deux (le problème E-MAD). Cette méthode repose sur une reformulation de E-MAD comme un problème de Calcul des Variations impliquant l'opérateur bi-harmonique (ou des opérateurs voisins), puis sur une formulation de type point-selle pour un Lagrangien augmenté bien choisi, ce qui conduit naturellement à des algorithmes du type Uzawa–Douglas–Rachford. La méthodologie ci-dessus s'applique à des problèmes autres que E-MAD (l'équation de Pucci, par exemple). Les résultats d'essais numériques sont egalement presentés. Ils concernent la résolution du problème E-MAD sur le carré unité (0,1)×(0,1). Le premier problème test a une solution régulière (analytique, en fait) connue exactement ; on la retrouve facilement, avec une erreur d'approximation d'ordre optimal. La solution du second probleme test est aussi connue exactement ; le fait qu'elle soit dans
The main goal of this Note is to discuss a method for the numerical solution of the two-dimensional elliptic Monge–Ampère equation with Dirichlet boundary conditions (the E-MAD problem). This method relies on the reformulation of E-MAD as a problem of Calculus of Variation involving the biharmonic operator (or closely related operators), and then to a saddle-point formulation for a well-chosen augmented Lagrangian functional, leading to iterative methods such as Uzawa–Douglas–Rachford. The above methodology applies to problems other than E-MAD (such as the Pucci equation). The results of numerical experiments are presented. They concern the solution of E-MAD on the unit square (0,1)×(0,1); the first test problem has a known smooth closed form solution which is easily computed with optimal order of convergence. The second test problem has also a known closed form solution; the fact that this solution has the
Accepté le :
Publié le :
Edward J. Dean 1 ; Roland Glowinski 1
@article{CRMATH_2003__336_9_779_0, author = {Edward J. Dean and Roland Glowinski}, title = {Numerical solution of the two-dimensional elliptic {Monge{\textendash}Amp\`ere} equation with {Dirichlet} boundary conditions: an augmented {Lagrangian} approach}, journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique}, pages = {779--784}, publisher = {Elsevier}, volume = {336}, number = {9}, year = {2003}, doi = {10.1016/S1631-073X(03)00149-3}, language = {en}, }
TY - JOUR AU - Edward J. Dean AU - Roland Glowinski TI - Numerical solution of the two-dimensional elliptic Monge–Ampère equation with Dirichlet boundary conditions: an augmented Lagrangian approach JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2003 SP - 779 EP - 784 VL - 336 IS - 9 PB - Elsevier DO - 10.1016/S1631-073X(03)00149-3 LA - en ID - CRMATH_2003__336_9_779_0 ER -
%0 Journal Article %A Edward J. Dean %A Roland Glowinski %T Numerical solution of the two-dimensional elliptic Monge–Ampère equation with Dirichlet boundary conditions: an augmented Lagrangian approach %J Comptes Rendus. Mathématique %D 2003 %P 779-784 %V 336 %N 9 %I Elsevier %R 10.1016/S1631-073X(03)00149-3 %G en %F CRMATH_2003__336_9_779_0
Edward J. Dean; Roland Glowinski. Numerical solution of the two-dimensional elliptic Monge–Ampère equation with Dirichlet boundary conditions: an augmented Lagrangian approach. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 9, pp. 779-784. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00149-3. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00149-3/
[1] Nonlinear Analysis on Manifolds, Springer-Verlag, Berlin, 1982
[2] L.A. Caffarelli, The Monge–Ampère equation and optimal transportation: an elementary review, Lecture at ICM 2002, Beijing, August 20–28, 2002
[3] Fully Nonlinear Elliptic Equations, American Mathematical Society, Providence, RI, 1995
[4] Augmented Lagrangians, North-Holland, Amsterdam, 1983
[5] Augmented Lagrangians and Operator Splitting Methods in Nonlinear Mechanics, SIAM, Philadelphia, 1989
[6] Numerical Analysis of Variational Inequalities, North-Holland, Amsterdam, 1981
[7] On the numerical solution of the equation zxxzyy−zxy2=f and its discretization, I, Numer. Math., Volume 54 (1988), pp. 271-293
Cité par Sources :
Commentaires - Politique