La résolution numérique du problème de Dirichlet pour l'équation de Monge–Ampère elliptique bi-dimensionelle, soit : $\det D^2\psi =f$ in Ω, $\psi =g$ on ∂Ω (ici, $\Omega \subset {\mathbb{R}}^2$ et $f>0$), a été étudiée dans une note précédente [C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 779–784]. La méthode décrite là, repose sur un algorithme de Lagrangien augmenté opérant dans l'espace $H^2(\Omega )$ et des espaces associés de fonctions à valeurs tensorielles symétriques. Dans les cas où le problème ci-dessus n'a pas de solution dans $H^2(\Omega )$, alors que les données f and g verifient $\{f\text{,}g\}\in L^1(\Omega )\times H^{3/2}(\partial \Omega )$, diverses observations et analogies suggèrent fortement que l'algorithme de Lagrangien augmenté décrit dans notre note précédente converge-en un certain sens-vers une solution appartenant à $V_g=\{\phi |\phi \in H^2(\Omega )\text{,}\phi =g\text{ on }\partial \Omega \}$ et du type moindres carrés. L'objet de cette note est la résolution du problème de Monge–Ampère Dirichlet, directement par une méthode de moindres carrés. Cette méthode repose sur la minimisation sur l'ensemble $V_g\times {\mathbf{Q}}_f$ (avec ${\mathbf{Q}}_f=\{\mathbf{q}|\mathbf{q}={\left(q_{ij}\right)}_{1⩽i\text{,}j⩽2}\text{,}{q}_{ij}\in L^2(\Omega )\text{,}\forall i\text{,}j\text{,}1⩽i\text{,}j⩽2\text{,}\mathbf{q}={\mathbf{q}}^t\text{,}\det \mathbf{q}=f\}$), d'une fonction coût bien choisie, de type moindres carrés. D'un point de vue pratique, on résout le problème de minimisation ci-dessus par un algorithme de type relaxation qui opère alternativement dans $V_g$ et ${\mathbf{Q}}_f$ ; cet algorithme est facile à combiner aux approximations par élements finis mixtes utilisées dans la note précédente. Des essais numériques montrent que la méthode de moindres carrés ci-dessus a de bonnes propriétés de convergence quand le problème de Monge–Ampère Dirichlet a des solutions dans $V_g$ ; ces essais montrent également que lorsque problème ci-dessus n'a pas de solution dans $V_g$, bien que $V_g$ et ${\mathbf{Q}}_f$ soient non vides, la nouvelle méthode reproduit les solutions obtenues par Lagrangien augmenté, mais ce plus rapidement.

Reçu le : 2004-08-30
Accepté le : 2004-09-02
Publié le : 2004-11-05
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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Edward J. Dean; Roland Glowinski. Numerical solution of the two-dimensional elliptic Monge–Ampère equation with Dirichlet boundary conditions: a least-squares approach. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 12, pp. 887-892. doi : 10.1016/j.crma.2004.09.018. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.09.018/