Hoeffding decompositions for exchangeable sequences and chaotic representation of functionals of Dirichlet processes

Giovanni Peccati

doi:10.1016/S1631-073X(03)00186-9

Probability Theory/Statistics

Hoeffding decompositions for exchangeable sequences and chaotic representation of functionals of Dirichlet processes
[Décompositions de Hoeffding pour des suites échangeables et représentation chaotique des fonctionnelles des processus de Dirichlet]

Présenté par : Marc Yor

Giovanni Peccati ^1,²

¹ Laboratoire de probabilités et modèles aléatoires, Universités de Paris VI & VII, Paris 75252, France
² Istituto di Metodi Quantitativi dell'Università ‘L. Bocconi’, 25, via Sarfatti, 20136 Milan, Italy

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 10, pp. 845-850.

Résumé
Abstract

On considère une suite échangeable $X = {X_{n} : 1 ⩽ n < N}$ , $N \in ℕ \cup {\infty}$ , et on note $𝐗_{n} = (X_{1}, ..., X_{n})$ . On dit que $X$ est décomposable au sens d'Hoeffding si, pour chaque n, chaque fonctionnelle centrée, symétrique et de carré intégrable de $X_{n}$ est la somme de n U-statistiques avec noyaux symétriques et dégénerés. On établit une condition nécessaire et suffisante pour la décomposabilité au sens d'Hoeffding, appelée indépendance faible. On montre qu'une classe de suites faiblement indépendantes est celle des suites d'urne généralisées, qui contient comme cas particulier les processus d'urne dits de Pólya. On remarque que ce résultat entraîne une décomposition de l'espace des fonctionnelles de carré intégrable d'un processus de Dirichlet–Ferguson, en sous-espaces orthogonaux d'intégrales multiples. On montre aussi des formules explicites.

Consider an exchangeable sequence $X = {X_{n} : 1 ⩽ n < N}$ , where $N \in ℕ \cup {\infty}$ , and note $𝐗_{n} = (X_{1}, ..., X_{n})$ . We say that $X$ is Hoeffding decomposable if, for each n, every square integrable, centered and symmetric functional of $X_{n}$ is the orthogonal sum of n U-statistics with degenerated and symmetric kernels. We state a necessary and sufficient condition for an exchangeable sequence to be Hoeffding decomposable, named weak independence. We show that a class of weakly independent sequences is given by generalized urn sequences and, specifically, by generalized Pólya urns. We point out that this yields an orthogonal decomposition of the space of square integrable functionals of Dirichlet–Ferguson processes into orthogonal subspaces of multiple integrals. Explicit formulae are provided.

Reçu le : 2002-09-03
Accepté le : 2003-04-01
Publié le : 2003-05-08

DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00186-9

Affiliations des auteurs :

Giovanni Peccati ^{1, 2}

¹ Laboratoire de probabilités et modèles aléatoires, Universités de Paris VI & VII, Paris 75252, France
² Istituto di Metodi Quantitativi dell'Università ‘L. Bocconi’, 25, via Sarfatti, 20136 Milan, Italy

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Giovanni Peccati. Hoeffding decompositions for exchangeable sequences and chaotic representation of functionals of Dirichlet processes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 10, pp. 845-850. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00186-9. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00186-9/

Bibliographie
Cité par

[1] D.J. Aldous Exchangeability and related topics, École d'été de Probabilités de Saint-Flour XIII, Lecture Notes in Math., 1117, Springer, New York, 1983

[2] D. Blackwell; J. MacQueen Ferguson distribution via Pólya urn schemes, Ann. Statist., Volume 1 (1973) no. 2, pp. 353-355

[3] M. Bloznelis; F. Götze Orthogonal decomposition of finite population statistics and its applications to distributional asymptotics, Ann. Statist., Volume 29 (2001) no. 3, pp. 353-365

[4] M. Bloznelis; F. Götze An Edgeworth expansion for finite population statistics, Ann. Probab., Volume 30 (2002), pp. 1238-1265

[5] T.S. Ferguson A Bayesian analysis of some non-parametric problems, Ann. Statist., Volume 1 (1973) no. 2, pp. 209-230

[6] W. Hoeffding A class of statistics with asymptotically normal distribution, Ann. Math. Statist., Volume 19 (1948) no. 2, pp. 293-325

[7] V.S. Koroljuk; Yu.V. Borovskich Theory of U-Statistics, Kluwer Academic, London, 1994

[8] G. Peccati, A note about Hoeffding-ANOVA decompositions for symmetric statistics of exchangeable observations, Prépublication n. 717 du Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires de l'Université de Paris VI, 2002, submitted

[9] G. Peccati, Multiple integral representation for functionals of Dirichlet processes, Prépublication n. 748 du Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires de l'Université de Paris VI, 2002, submitted

[10] G. Peccati, Chaos Brownien d'espace–temps, décompositions d'Hoeffding et problèmes de convergence associés, Thèse de Doctorat, Université de Paris VI, 2002

[11] J. Pitman Some developments of the Blackwell–MacQueen urn scheme, Statistics, Probability and Game Theory: papers in honor of David Blackwell, Lecture Notes – Monograph Series, 30, Institute of Mathematical Statistics, Hayward, CA, 1996

[12] D.W. Stroock Homogeneous chaos revisited, Séminaire de Probabilités XXI, Lecture Notes in Math., 1274, Springer, 1987, pp. 1-8

[13] L. Zhao; X. Chen Normal approximation for finite-population U-statistics, Acta Math. Appl. Sinica, Volume 6 (1990) no. 3, pp. 263-272

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