Soit une courbe elliptique C. M., définie sur . Considérons une famille de formes linéaires sur l'algèbre de Lie de , à coefficients dans le corps de multiplication complexe de . Dans ce cadre, nous présentons une mesure d'indépendance linéaire de logarithmes, analogue aux estimations connues actuellement pour les tores (commutatifs) de type (logb)(loga)n. Ainsi, à l'instar des récentes avancées dans ce domaine (travaux d'Ably, David, Hirata-Kohno), cette mesure est optimale en la hauteur des formes linéaires considérées (logb) et, en outre, elle est plus précise en la hauteur des points de la courbe elliptique (loga) avec la suppression d'un terme en logloga.
Let be an elliptic curve with complex multiplication, defined over . We consider linear forms on with coefficients in the CM field of . Within this framework, we present a new measure of linear independence for elliptic logarithms in (logb)(loga)n. Like recent advances in this domain (works by Ably, David, Hirata-Kohno), our result is best possible in terms of the height of the linear forms (logb) while providing a better estimate in the height of algebraic points considered (loga), removing a term in logloga.
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TY - JOUR AU - Mohammed Ably AU - Éric Gaudron TI - Approximation diophantienne sur les courbes elliptiques à multiplication complexe JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2003 SP - 629 EP - 634 VL - 337 IS - 10 PB - Elsevier DO - 10.1016/j.crma.2003.09.018 LA - fr ID - CRMATH_2003__337_10_629_0 ER -
Mohammed Ably; Éric Gaudron. Approximation diophantienne sur les courbes elliptiques à multiplication complexe. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 10, pp. 629-634. doi : 10.1016/j.crma.2003.09.018. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2003.09.018/
[1] Formes linéaires de logarithmes de points algébriques sur une courbe elliptique de type CM, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 50 (2000), pp. 1-33
[2] Polynômes de Lagrange sur les entiers d'un corps quadratique imaginaire, J. Th. des Nombres de Bordeaux, Volume 10 (1998), pp. 85-105
[3] Minorations de formes linéaires de logarithmes elliptiques, Mém. Soc. Math. France, Volume 62 (1995)
[4] S. David, N. Hirata, Linear forms in elliptic logarithms (2003), en préparation
[5] Minorations des hauteurs normalisées des sous-variétés des tores, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), Volume XXVIII (1999), pp. 489-543
[6] É. Gaudron, Mesure d'indépendance linéaire de logarithmes dans un groupe algébrique commutatif, Thèse de Doctorat, Université Jean Monnet de Saint-Étienne, 2001
[7] Lemme de zéros dans les groupes algébriques commutatifs, Bull. Soc. Math. France, Volume 114 (1986), pp. 355-383 (Errata et Addenda Bull. Soc. Math. France, 115, 1987)
[8] Formes linéaires de logarithmes simultanées sur les groupes algébriques commutatifs, Séminaire de Th. des Nombres, Paris (1986/1987), pp. 313-347
[9] Formes linéaires de logarithmes sur les groupes algébriques commutatifs, Illinois J. Math., Volume 32 (1988) no. 2, pp. 281-314
[10] The Arithmetic of Elliptic Curves, Graduate Texts in Math., 106, Springer-Verlag, 1986
Cité par Sources :
Commentaires - Politique
Mesures de transcendance pour les points algébriques de fonctions modulaires de Siegel
Eric Villani
C. R. Math (2007)