Comptes Rendus
no. 11
Géométrie algébrique
Cohomologie des formes différentielles régulières pour les courbes affines
[Cohomology of regular differential forms for affine curves]
Étienne Ghys
Philippe Bonnet1
1Université de Genève, section de mathématiques, 2–4, rue du Lièvre, 1211 Genève 24, Suisse
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 11, pp. 863-868

Soit C une courbe affine complexe réduite, et soit H1(C) son premier groupe de cohomologie de De Rham tronqué, c'est-à-dire le quotient des 1-formes régulières sur C par les 1-formes exactes. En premier lieu, nous introduisons un invariant μ′(C,x)⩾0 qui mesure la complexité de la singularité de C au point x, et nous démontrons la formule suivante :

dim H 1 (C)= dim H 1 (C)+∑ x∈C μ'(C,x),
où H1(C) désigne le premier groupe d'homologie singulière de C à coefficients complexes. Deuxièmement, nous considérons une famille de courbes affines donnée par les fibres d'un morphisme f:X→ℂ, où X est une surface affine réduite. Nous analysons le comportement de la fonction y↦dimH1(f−1(y)). Plus précisément, nous montrons qu'elle est constante sur un ouvert de Zariski, et qu'elle est semi-continue inférieurement en général.

Let C be an affine curve, and denote by H1(C) its first troncated De Rham cohomology group, i.e. the quotient of regular differential 1-forms on C by exact 1-forms. First we introduce a nonnegative invariant μ′(C,x) that measures the complexity of the singularity of C at the point x, and we establish the following formula:

dim H 1 (C)= dim H 1 (C)+∑ x∈C μ'(C,x),
where H1(C) is the first singular homology group of C with complex coefficients. Second we consider a family of curves given by the fibres of a morphism f:X→ℂ, where X is an affine reduced surface. We analyse the behaviour of the function y↦dimH1(f−1(y)). More precisely we show that it is constant over a Zariski open set, and that it is lower semi-continuous is general.

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DOI: 10.1016/j.crma.2003.11.019

Philippe Bonnet  1

1 Université de Genève, section de mathématiques, 2–4, rue du Lièvre, 1211 Genève 24, Suisse 
Philippe Bonnet. Cohomologie des formes différentielles régulières pour les courbes affines. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 11, pp. 863-868. doi: 10.1016/j.crma.2003.11.019
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