Comptes Rendus
no. 11
Géométrie algébrique
Cohomologie des formes différentielles régulières pour les courbes affines

Présenté par : Étienne Ghys

Philippe Bonnet1
1 Université de Genève, section de mathématiques, 2–4, rue du Lièvre, 1211 Genève 24, Suisse
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 11, pp. 863-868.

Soit C une courbe affine complexe réduite, et soit H1(C) son premier groupe de cohomologie de De Rham tronqué, c'est-à-dire le quotient des 1-formes régulières sur C par les 1-formes exactes. En premier lieu, nous introduisons un invariant μ′(C,x)⩾0 qui mesure la complexité de la singularité de C au point x, et nous démontrons la formule suivante :

dim H 1 (C)= dim H 1 (C)+∑ x∈C μ'(C,x),
où H1(C) désigne le premier groupe d'homologie singulière de C à coefficients complexes. Deuxièmement, nous considérons une famille de courbes affines donnée par les fibres d'un morphisme f:X→ℂ, où X est une surface affine réduite. Nous analysons le comportement de la fonction y↦dimH1(f−1(y)). Plus précisément, nous montrons qu'elle est constante sur un ouvert de Zariski, et qu'elle est semi-continue inférieurement en général.

Let C be an affine curve, and denote by H1(C) its first troncated De Rham cohomology group, i.e. the quotient of regular differential 1-forms on C by exact 1-forms. First we introduce a nonnegative invariant μ′(C,x) that measures the complexity of the singularity of C at the point x, and we establish the following formula:

dim H 1 (C)= dim H 1 (C)+∑ x∈C μ'(C,x),
where H1(C) is the first singular homology group of C with complex coefficients. Second we consider a family of curves given by the fibres of a morphism f:X→ℂ, where X is an affine reduced surface. We analyse the behaviour of the function y↦dimH1(f−1(y)). More precisely we show that it is constant over a Zariski open set, and that it is lower semi-continuous is general.

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DOI : 10.1016/j.crma.2003.11.019
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Philippe Bonnet. Cohomologie des formes différentielles régulières pour les courbes affines. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 11, pp. 863-868. doi : 10.1016/j.crma.2003.11.019. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2003.11.019/

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