We explain how it is possible to obtain the necessary conditions on functions defining a germ of planar web in order that it be of maximal rank. Then we apply this method to the study of maximal rank 5-webs. We show the existence of many exceptional 5-webs non-equivalent to Bol's web, thus giving an answer to Chern's problem.
On explique comment il est possible d'obtenir des conditions nécessaires sur des fonctions définissant un germe de tissu plan, pour que celui-ci soit de rang maximal. On applique ensuite cette méthode à l'étude des 5-tissus plans de rang maximal. On montre l'existence d'autres 5-tissus exceptionnels que le tissu de Bol, apportant ainsi une réponse au problème de Chern.
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Luc Pirio 1
@article{CRMATH_2004__339_2_131_0, author = {Luc Pirio}, title = {Sur les tissus plans de rang maximal et le probl\`eme de {Chern}}, journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique}, pages = {131--136}, publisher = {Elsevier}, volume = {339}, number = {2}, year = {2004}, doi = {10.1016/j.crma.2004.04.022}, language = {fr}, }
Luc Pirio. Sur les tissus plans de rang maximal et le problème de Chern. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 2, pp. 131-136. doi : 10.1016/j.crma.2004.04.022. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.04.022/
[1] Méthode générale pour trouver des fonctions d'une seule quantité variable lorsqu'une propriété de ces fonctions est exprimée par une équation entre deux variables, Œuvres complètes de N.H. Abel, t. 1, Grondhal Son, Christiania, 1881, pp. 1-10
[2] Differential geometry of webs, Handbook of Differential Geometry, vol. 1, North-Holland, Amsterdam, 2000
[3] Geometrie der Gewebe, Grundlehren Math., vol. 49, Springer, Berlin, 1938
[4] On n-webs of curves in a plane, Bull. Amer. Math. Soc., Volume 38 (1932), pp. 855-857
[5] Über ein bemerkenswertes Fünfgewebe in der Ebene, Abh. Math. Semin. Hamb. Univ., Volume 11 (1936), pp. 387-393
[6] Wilhelm Blaschke and Web Geometry, Wilhelm Blaschke Gesammelte Werke, vol. 5, Thales, Essen, 1985, pp. 21-23
[7] Web geometry, Bull. Amer. Math. Soc., Volume 6 (1982), pp. 1-8
[8] Abel's theorem and webs, Jahresber. Deutsch. Math.-Verein., Volume 80 (1978), pp. 13-110
[9] Sur la courbure de Blaschke et le rang des tissus de , Natural Sci. Rep. Ochanomizu Univ., Volume 51 (2000) no. 1, pp. 11-25
[10] Bestimmung aller Fläschen, die in mehrfacher Weise durch Translationsbewegung einer Kurve erzeugt werden, Arch. für Math., Volume 7 (1882) no. 2, pp. 450-467
[11] Rang et courbure des 3-tissus de , C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I, Volume 329 (1999), pp. 629-632
[12] Study of a functional equation associated to the Kummer's equation of the trilogarithm. Applications, 2002 (Preprint, arXiv) | arXiv
[13] L. Pirio, Abelian functional equations, planar web geometry and polylogarithms, Selecta Math. (NS), à paraı̂tre
[14] Sur les surfaces de translation et les fonctions abéliennes, Bull. Soc. Math. France, Volume 29 (1901), pp. 61-86
[15] G. Robert, Relations fonctionnelles polylogarithmiques et tissus plans, Prépublication n∘ 146 (2002), Université Bordeaux 1
[16] Web Theory and Related Topics (J. Grifone; J. Salem, eds.), World Scientific, 2001
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