Comptes Rendus
no. 3
Analyse numérique
Méthode de décomposition de domaine et éléments finis nodaux pour la résolution de l'équation d'Helmholtz

Présenté par : Olivier Pironneau

Abderrahmane Bendali1, 2 ; Yassine Boubendir2, 3
1 UMR 5640, MIP INSA-CNRS-UPS, INSA (G2M), 135, av de Rangeuil, 31077 Toulouse, France
2 CERFACS, 42, avenue de Coriolis, 31057 Toulouse, France
3 Laboratoire Jacques-Louis Lions (UMR 7598), université Pierre et Marie Curie (Paris VI), 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 3, pp. 229-234.

L'utilisation d'une méthode de décomposition de domaine sans recouvrement, dans le cadre d'une résolution par éléments finis, nécessite un traitement particulier des degrés de liberté communs à plus de deux sous-domaines. C'est le cas, par exemple, lorsqu'on utilise une méthode conforme d'éléments finis nodaux pour la résolution de l'équation de Laplace ou d'Helmholtz. Par commodité, de tels degrés de liberté seront appelés « points de jonction ». Nous développons ici une approche permettant un tel traitement. A la différence d'une méthode de décomposition de domaine au sens strict, celle-ci requiert un post-traitement, complétant chaque itération qui consiste en la résolution d'un système de la taille du nombre de points de jonction. Nous démontrons que l'algorithme ne peut pas s'arrêter de façon intempestive et qu'il converge.

The utilization of a non-overlapping domain decomposition method, in the framework of a resolution by finite elements, requires a particular treatment of the degrees of freedom shared by more than two subdomains. This is the case, for example, when solving a Laplace or Helmholtz equation by means of a conformal nodal finite element method. For convenience, such degrees of freedom will be called ‘cross-points’. We describe here an approach permitting such a treatment. In contrast to a domain decomposition method in the strict sense, our approach requires a post-processing completing each iteration, which consists of solving a system whose size is the number of cross-points. We prove that the algorithm cannot break down and that it converges.

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DOI : 10.1016/j.crma.2004.06.002
Abderrahmane Bendali 1, 2 ; Yassine Boubendir 2, 3

1 UMR 5640, MIP INSA-CNRS-UPS, INSA (G2M), 135, av de Rangeuil, 31077 Toulouse, France
2 CERFACS, 42, avenue de Coriolis, 31057 Toulouse, France
3 Laboratoire Jacques-Louis Lions (UMR 7598), université Pierre et Marie Curie (Paris VI), 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France 
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Abderrahmane Bendali; Yassine Boubendir. Méthode de décomposition de domaine et éléments finis nodaux pour la résolution de l'équation d'Helmholtz. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 3, pp. 229-234. doi : 10.1016/j.crma.2004.06.002. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.06.002/

[1] A. Bendali, Y. Boubendir, Non-overlaping domain decomposition method for nodal finite elements, en préparation

[2] Y. Boubendir, Techniques de décomposition de domaine et méthode d'equations intégrales, Doctorat de mathématiques appliquées, INSA de Toulouse, 2002

[3] A. de la Bourdonnaye; C. Farhat; A. Macedo; F. Magoulès; F.-X. Roux A non-overlapping domain decomposition method for the exterior Helmholtz problem, Contemp. Math., Volume 218 (1998), pp. 42-66

[4] F. Collino; S. Ghanemi; P. Joly Domain decomposition method for harmonic wave propagation: a general presentation, Comput. Method. Appl. Mech., Volume 184 (2000), pp. 171-211

[5] B. Després, Méthodes de décomposition de domaine pour les problèmes de propagation d'ondes en régime harmonique. Le théorème de Borg pour l'équation de Hill vectorielle, Doctorat de l'Université Paris VI, 1991

[6] C. Farhat; F.-X. Roux Implicit parallel processing in structural mechanics, Comput. Mech. Adv., Volume 2 (1994) no. 1

[7] M.J. Gander; F. Magoules; F. Nataf Optimized Schwarz methods without overlap for the Helmholtz equation, SIAM J. Sci. Comput., Volume 24 (2002) no. 1, pp. 38-60

[8] R. Leis Initial Boundary-Value Problems in Mathematical Physics, Tubner, Stuttgard, 1986

[9] P.-L. Lions On the Schwarz alternating method. III: A variant for non overlapping subdomains, Third International Symposium on Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations, held in Houston, Texas, March 20–22, 1989, SIAM, Philadelphia, 1990

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