Invariant measures of stochastic partial differential equations and conditioned diffusions

Maria G. Reznikoff; Eric Vanden-Eijnden

doi:10.1016/j.crma.2004.12.025

Probability Theory

Invariant measures of stochastic partial differential equations and conditioned diffusions
[Mesures invariantes d'équations aux dérivées partielles stochastiques et diffusions conditionées]

Présenté par : Paul Malliavin

Maria G. Reznikoff ¹ ; Eric Vanden-Eijnden ²

¹ Institute for Applied Mathematics, University of Bonn, Wegelerstraße 10, 53115 Bonn, Germany
² Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University, New York, NY 10012, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 4, pp. 305-308.

Résumé
Abstract

On montre et exploite une connection entre la mesure invariante d'équations aux dérivées partielles stochastiques et les lois de processus ponts. En l'occurence, on montre que la mesure invariante de $u_{t} = u_{x x} + f (u) + \sqrt{2 ɛ} η (x, t)$ , où $η (x, t)$ est un bruit blanc spatio-temporel, est la même que la loi du processus pont associé à $d U = a (U) d x + \sqrt{ɛ} d W (x)$ , pourvu que a et f soient reliés comme $ɛ a^{″} (u) + 2 a^{'} (u) a (u) = - 2 f (u)$ , $u \in R$ . Quelques conséquences de cette connection sont étudiées, comme l'existence et les propriétés d'une mesure invariante de l'équations aux dérivées partielle stochastique sur la ligne, $x \in R$ .

This work establishes and exploits a connection between the invariant measure of stochastic partial differential equations (SPDEs) and the law of bridge processes. Namely, it is shown that the invariant measure of $u_{t} = u_{x x} + f (u) + \sqrt{2 ɛ} η (x, t)$ , where $η (x, t)$ is a space–time white-noise, is identical to the law of the bridge process associated to $d U = a (U) d x + \sqrt{ɛ} d W (x)$ , provided that a and f are related by $ɛ a^{″} (u) + 2 a^{'} (u) a (u) = - 2 f (u)$ , $u \in R$ . Some consequences of this connection are investigated, including the existence and properties of the invariant measure for the SPDE on the line, $x \in R$ .

Reçu le : 2004-09-29
Accepté le : 2004-12-14
Publié le : 2005-02-02

DOI : 10.1016/j.crma.2004.12.025

Affiliations des auteurs :

Maria G. Reznikoff ¹ ; Eric Vanden-Eijnden ²

¹ Institute for Applied Mathematics, University of Bonn, Wegelerstraße 10, 53115 Bonn, Germany
² Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University, New York, NY 10012, USA

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Maria G. Reznikoff; Eric Vanden-Eijnden. Invariant measures of stochastic partial differential equations and conditioned diffusions. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 4, pp. 305-308. doi : 10.1016/j.crma.2004.12.025. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.12.025/

Bibliographie
Cité par

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Cité par Sources :

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