[Calcul stochastique covariant d'ordre deux]
Nous étudions des semimartingales continues à valeurs dans un fibré vectoriel E au dessus d'une variété différentielle M. Dans la continuité des travaux de Meyer et Schwartz, nous montrons que l'intégration stochastique sur une variété concerne en réalité des opérateurs différentiels d'ordre 2, en accord avec la formule d'Itô qui fait intervenir le 2-jet d'une fonction et non sa différentielle, et à l'aide de la notion de connexion d'ordre 2. Un exemple fondamental de connexion d'ordre 2 est donné par le 2-jet du transport parallèle le long des géodésiques sur M.
We study continuous semimartingales in a vector fibre bundle E over a differentiable manifold M. Following Meyer and Schwartz's principle, we show that stochastic covariant integration on a manifold involves second order differential operators, according to the Itô formula integrating not only the differential but the 2-jet of a function, and using a notion of connection of order 2. A fundamental example of such a connection is given by the 2-jet of the parallel transport along geodesics on M.
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Laurence Maillard-Teyssier 1
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Laurence Maillard-Teyssier. Stochastic covariant calculus of order two. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 3, pp. 185-188. doi : 10.1016/j.crma.2005.06.023. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.06.023/
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