Comptes Rendus
no. 4
Géométrie différentielle
Une méthode des sur et sous solutions améliorée

Présenté par : Thierry Aubin

Philippe Delanoë1
1 Université de Nice-Sophia Antipolis, laboratoire J.-A. Dieudonné, parc Valrose, 06108 Nice cedex 2, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 4, pp. 239-242.

L'habituelle méthode des sur et sous solutions, pour résoudre une équation non-linéaire elliptique du second ordre, est itérative, ce qui complique, parfois jusqu'à la rendre impossible, l'indispensable estimation uniforme C2, à cause de la présence simultanée de deux inconnues successives de l'itération dans la même équation. Nous présentons ici une méthode dépourvue de cet inconvénient, basée sur un argument de point fixe élémentaire.

The usual upper and lower solutions method for solving a second order nonlinear elliptic equation is iterative, with the drawback of a tricky, if not sometimes impossible, derivation of the (quite essential) uniform C2 estimate, due to the occurence in the same equation of two successive iteration unknowns. We present here a method free of such a drawback, based on an elementary fixed point argument.

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.06.036
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Philippe Delanoë. Une méthode des sur et sous solutions améliorée. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 4, pp. 239-242. doi : 10.1016/j.crma.2005.06.036. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.06.036/

[1] Th. Aubin Nonlinear Analysis on Manifolds. Monge–Ampère Equations, Grundlehren Math. Wiss., vol. 252, Springer-Verlag, 1982

[2] P. Bayard, Entire space-like hypersurfaces of prescribed scalar curvature in Minkowski space, Preprint Univ. Michoacan, April 2005, voir : , Calc. Var. PDE, à paraitre | arXiv

[3] R. Courant; D. Hilbert Methods of Mathematical Physics, vol. 2, Wiley Interscience, 1962

[4] Ph. Delanoë Equations du type Monge–Ampère sur les variétés riemanniennes compactes, I, J. Funct. Anal., Volume 40 (1981), pp. 358-386

[5] D. Gilbarg; N.S. Trudinger Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, 1983

[6] A.J.B. Potter An elementary version of the Leray–Schauder theorem, J. London Math. Soc., Volume 5 (1972) no. 2, pp. 414-416

[7] J.I.E. Urbas The Dirichlet problem for the equation of prescribed scalar curvature in Minkowski space, Calc. Var. PDE, Volume 18 (2003), pp. 307-316

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