Diffusion versus absorption in semilinear parabolic problems

Andrey Shishkov; Laurent Véron

doi:10.1016/j.crma.2006.01.021

Partial Differential Equations

Diffusion versus absorption in semilinear parabolic problems
[Diffusion versus absorption dans des problèmes paraboliques semi-linéaires]

Présenté par : Haïm Brezis

Andrey Shishkov ¹ ; Laurent Véron ²

¹ Institute of Applied Mathematics and Mechanics of NAS of Ukraine, R. Luxemburg str. 74, 83114 Donetsk, Ukraine
² Laboratoire de mathématiques et physique théorique, CNRS UMR 6083, faculté des sciences, 37200 Tours, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 8, pp. 569-574.

Résumé
Abstract

Nous étudions la limite, quand $k \to \infty$ , des solutions $u = u_{k}$ de (E) $\partial_{t} u - Δ u + h (t) u^{q} = 0$ dans $R^{N} \times (0, \infty)$ , $u_{k} (\cdot, 0) = k δ_{0}$ avec $q > 1$ , $h (t) > 0$ . Nous montrons que si $h (t) = e^{- ω (t) / t}$ où $ω > 0$ vérifie $\int_{0}^{1} \sqrt{ω (t)} t^{−1} d t < \infty$ , la fonction limite $u_{\infty}$ est une solution of (E) avec une singularité isolée en $(0, 0)$ , alors que si $ω (t) \equiv 1$ , $u_{\infty}$ est la solution maximale de (E). Nous examinons des questions semblables pour des équations des type suivants $\partial_{t} u - Δ u^{m} + h (t) u^{q} = 0$ avec $m > 1$ et $\partial_{t} u - Δ u + h (t) e^{u} = 0$ .

We study the limit, when $k \to \infty$ , of the solutions $u = u_{k}$ of (E) $\partial_{t} u - Δ u + h (t) u^{q} = 0$ in $R^{N} \times (0, \infty)$ , $u_{k} (\cdot, 0) = k δ_{0}$ , with $q > 1$ , $h (t) > 0$ . If $h (t) = e^{- ω (t) / t}$ where $ω > 0$ satisfies to $\int_{0}^{1} \sqrt{ω (t)} t^{−1} d t < \infty$ , the limit function $u_{\infty}$ is a solution of (E) with a single singularity at $(0, 0)$ , while if $ω (t) \equiv 1$ , $u_{\infty}$ is the maximal solution of (E). We examine similar questions for equations such as $\partial_{t} u - Δ u^{m} + h (t) u^{q} = 0$ with $m > 1$ and $\partial_{t} u - Δ u + h (t) e^{u} = 0$ .

Accepté le : 2006-01-20
Publié le : 2006-03-03

DOI : 10.1016/j.crma.2006.01.021

Affiliations des auteurs :

Andrey Shishkov ¹ ; Laurent Véron ²

¹ Institute of Applied Mathematics and Mechanics of NAS of Ukraine, R. Luxemburg str. 74, 83114 Donetsk, Ukraine
² Laboratoire de mathématiques et physique théorique, CNRS UMR 6083, faculté des sciences, 37200 Tours, France

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Andrey Shishkov; Laurent Véron. Diffusion versus absorption in semilinear parabolic problems. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 8, pp. 569-574. doi : 10.1016/j.crma.2006.01.021. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.01.021/

Bibliographie
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