Comptes Rendus
no. 7
Partial Differential Equations
Dispersion and Strichartz estimates for the Liouville equation
[Dispersion et estimations de Strichartz pour l'équation de Liouville]

Présenté par : Gilles Lebeau

Delphine Salort1
1 Université Paris 6, laboratoire Jacques-Louis Lions, UMR 7598, 175, rue du Chevaleret 75013 Paris, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 7, pp. 489-492.

On considère l'équation de Liouville associée à une métrique g et on prouve des estimations de dispersion et de Strichartz pour la solution de cette équation en fonction de la géométrie des trajectoires associée à g. En particulier, on obtient des estimations de Strichartz globales en temps pour des métriques où l'estimation de dispersion est fausse même pour des temps arbitrairement petits. Cette étude permet de mettre en évidence une analogie entre le comportement de la solution de l'équation de Schrödinger et de l'équation de Liouville.

We consider the Liouville equation associated to a metric g and we prove dispersion and Strichartz estimates for the solution of this equation in terms of the geometry of the trajectories associated to g. In particular, we obtain global Strichartz estimates in time for metrics where dispersion estimate is false even locally in time. We also study the analogy between Strichartz estimates obtained for the Liouville equation and the Schrödinger equation with variable coefficients.

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DOI : 10.1016/j.crma.2006.02.015
Delphine Salort 1

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Delphine Salort. Dispersion and Strichartz estimates for the Liouville equation. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 7, pp. 489-492. doi : 10.1016/j.crma.2006.02.015. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.02.015/

[1] H. Bahouri; J.-Y. Chemin Équations d'ondes quasilinéaires et estimations de Strichartz, Amer. J. Math., Volume 121 (1999) no. 6, pp. 1337-1377

[2] N. Burq, Estimations de Strichartz pour des perturbations à longue portée de l'opérateur de Schrödinger, Séminaire EDP de l'Ecole polytechnique

[3] N. Burq; P. Gérard; N. Tzvetkov Strichartz inequalities and the nonlinear Schrödinger equation on compact manifolds, Amer. J. Math., Volume 126 (2004) no. 3, pp. 569-605

[4] F. Castella; B. Perthame Estimations de Strichartz pour les équations de transport cinétique, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Volume 322 (1996) no. 6, pp. 535-540

[5] P.-L. Lions; B. Perthame Lemmes de moments, de moyenne et de dispersion, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Volume 314 (1992) no. 11, pp. 801-806

[6] D. Salort, Dispersion and Strichartz estimates for the Liouville equation, submitted for publication

[7] D. Salort, Weighted dispersion and Strichartz estimates for the Liouville equation in one dimension, submitted for publication

[8] D. Salort, The Schrödinger equation type with a nonelliptic operator, submitted for publication

Cité par Sources :

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