Sur l'ensemble exceptionnel de Weyl

Bakir Farhi

doi:10.1016/j.crma.2006.09.007

Théorie des nombres

Sur l'ensemble exceptionnel de Weyl

Présenté par : Christophe Soulé

Bakir Farhi ¹

¹ Département de mathématiques, université du Maine, avenue Olivier-Messiaen, 72085 Le Mans cedex 9, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 7, pp. 441-445.

Résumé
Abstract

Il est connu depuis H. Weyl qu'étant donné un réel $r > 1$ , l'ensemble $W_{r}$ des réels $λ > 0$ pour lesquels la suite ${(λ r^{n})}_{n \in N}$ n'est pas équirépartie modulo 1, est de mesure de Lebesgue nulle. Dans cette Note, sans utiliser la notion de la dimension de Hausdorff, on démontre entre autres que ces ensembles $W_{r}$ sont infinis non dénombrables.

It is well known since H. Weyl's work that for any given real number $r > 1$ , the set $W_{r}$ consisting of positive real numbers λ for which the sequence ${(λ r^{n})}_{n \in N}$ is not uniformly distributed modulo 1, has Lebesgue measure zero. In this Note, without use the concept of Hausdorff dimension, one shows among other things that these sets $W_{r}$ are uncountable.

Reçu le : 2006-03-10
Accepté le : 2006-09-05
Publié le : 2006-10-01

DOI : 10.1016/j.crma.2006.09.007

Affiliations des auteurs :

Bakir Farhi ¹

¹ Département de mathématiques, université du Maine, avenue Olivier-Messiaen, 72085 Le Mans cedex 9, France

@article{CRMATH_2006__343_7_441_0,
     author = {Bakir Farhi},
     title = {Sur l'ensemble exceptionnel de {Weyl}},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {441--445},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {343},
     number = {7},
     year = {2006},
     doi = {10.1016/j.crma.2006.09.007},
     language = {fr},
}

TY  - JOUR
AU  - Bakir Farhi
TI  - Sur l'ensemble exceptionnel de Weyl
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2006
SP  - 441
EP  - 445
VL  - 343
IS  - 7
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2006.09.007
LA  - fr
ID  - CRMATH_2006__343_7_441_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Bakir Farhi
%T Sur l'ensemble exceptionnel de Weyl
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2006
%P 441-445
%V 343
%N 7
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2006.09.007
%G fr
%F CRMATH_2006__343_7_441_0

Bakir Farhi. Sur l'ensemble exceptionnel de Weyl. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 7, pp. 441-445. doi : 10.1016/j.crma.2006.09.007. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.09.007/

Bibliographie
Cité par

[1] M.J. Bertin et al. Pisot and Salem Numbers, Birkhäuser, Berlin, 1992

[2] D.W. Boyd Transcendental numbers with badly distributed powers, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 23 (1969), pp. 424-427

[3] J.F. Koksma Ein mengentheoretischer Satz über die Gleichverteilung modulo Eins, Compositio Math., Volume 2 (1935), pp. 250-258

[4] M.A. Lerma, Distribution of powers modulo 1 and related topics, Preprint, 1995

[5] C. Pisot La répartition modulo 1 et les nombres algébriques, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Volume 7 (1938), pp. 205-248

[6] A.D. Pollington Progressions arithmétiques généralisées et le problème des ${(3 / 2)}^{n}$ , C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I, Volume 292 (1981), pp. 383-384

[7] H. Weyl Über die Gleichverteilung von Zahlen mod Eins, Math. Ann., Volume 77 (1916), pp. 313-352

Cité par Sources :

Commentaires - Politique

Il n'y a aucun commentaire pour cet article. Soyez le premier à écrire un commentaire !

Publier un nouveau commentaire:

Publier une nouvelle réponse: