Comptes Rendus
no. 8
Statistique
Sur l'approximation des fonctions convexes par les fonctions génératrices des cumulants

Présenté par : Paul Deheuvels

Roland Hildebrand1
1 LMC, université Joseph-Fourier, tour IRMA, 51, rue des mathématiques, 38400 St. Martin d'Hères, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 8, pp. 545-550.

Nous montrons que chaque fonction convexe f définie sur la droite réelle ou un intervalle réel peut être approximée dans la norme C0 par la fonction génératrice des cumulants d'une mésure non-négative avec une erreur bornée par une constante absolue, qui ne dépend pas de f. Nous fournissons des bornes supérieures et inférieures sur la meilleure de telles constantes, notamment ln2 et ln22. La déduction de ces bornes est constructive. Nous montrons également que dans le cas multi-dimensionnel l'erreur de l'approximation n'est pas bornée.

In this Note we show that any convex function f on the real line or an interval thereof can be approximated in the C0 norm by the cumulant generating function of a non-negative measure with an error bounded by an absolute constant which does not depend on f. We give upper and lower bounds on the best of such constants, which equal ln2 and ln22, respectively. The proofs for these bounds are constructive. We also show that the approximation error in the multi-dimensional case is not bounded.

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DOI : 10.1016/j.crma.2006.09.008
Roland Hildebrand 1

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Roland Hildebrand. Sur l'approximation des fonctions convexes par les fonctions génératrices des cumulants. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 8, pp. 545-550. doi : 10.1016/j.crma.2006.09.008. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.09.008/

[1] M. Abramowitz; I.A. Stegun Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, New York, 1964

[2] N.I. Akhiezer The Classical Moment Problem and Some Related Questions in Analysis, FizMatLit, Moscow, 1961

[3] L.D. Brown Fundamentals of Statistical Exponential Families, IMS Lecture Notes, vol. 9, Institute of Mathematical Statistics, Hayward, CA, 1986

[4] A. Dembo; O. Zeitouni Large Deviations Techniques and Applications, Springer, New York, 1998

[5] E.W. Weisstein, Cumulant-generating function, From MathWorld – A Wolfram Web Resource

[6] D.V. Widder The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, vol. 6, Princeton University Press, Princeton, 1946

Cité par Sources :

⁎ This paper presents research results of the Belgian Programme on Interuniversity Poles of Attraction, Phase V, initiated by the Belgian State, Prime Minister's Office for Science, Technology and Culture, and of the Action Concertée Incitative ‘Masses de données’ of CNRS, France. The scientific responsibility rests with its author.

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