A Bismut type theorem for subelliptic heat semigroups

Fabrice Baudoin

doi:10.1016/j.crma.2007.05.005

Partial Differential Equations

A Bismut type theorem for subelliptic heat semigroups

Presented by: Paul Malliavin

Fabrice Baudoin ¹

¹ Institut de mathématiques de Toulouse, Université Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex 9, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 12, pp. 765-768.

Abstract (Original language)
Résumé

Given a general second order subelliptic differential operator $L$ defined on a vector bundle $E$ over a compact manifold, we study the existence of $\lim_{t \to 0} σ (p_{t} (x, x))$ , where $p_{t}$ is the heat kernel of $e^{t L}$ and σ is a linear map on $End (E_{x})$ . Our result contains as a special case the local Atiyah–Singer index theorem for Dirac operators on Clifford bundles. Our approach is based on an extension to fiber bundles of the link pointed out by Rotschild and Stein between Nilpotent Lie groups and subelliptic heat kernel asymptotics on the diagonal.

Étant donné un opérateur sous-elliptique $L$ défini sur un fibré vectoriel $E$ au dessus d'une variété riemannienne compacte, nous étudions l'existence de $\lim_{t \to 0} σ (p_{t} (x, x))$ , où $p_{t}$ est le noyau de la chaleur du semi-groupe $e^{t L}$ et où σ is a linear map on $End (E_{x})$ est une application linéaire sur $End (E_{x})$ . Notre résultat contient en particulier le théorème de l'indice local d'Atiyah–Singer pour les opérateurs de Dirac sur les fibrés de Clifford. Notre approche repose sur une extension aux fibrés vectoriels du lien mis en avant par Rotschild et Stein qui existe entre les groupes de Lie nilpotents et l'asymptotique sur la diagonale d'un noyau de la chaleur sous-elliptique.

Received: 2007-02-06
Accepted: 2007-05-15
Published online: 2007-06-15

DOI: 10.1016/j.crma.2007.05.005

Author's affiliations:

Fabrice Baudoin ¹

¹ Institut de mathématiques de Toulouse, Université Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex 9, France

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Fabrice Baudoin. A Bismut type theorem for subelliptic heat semigroups. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 12, pp. 765-768. doi : 10.1016/j.crma.2007.05.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.05.005/

References
Cited by

[1] F. Baudoin An Introduction to the Geometry of Stochastic Flows, Imperial College Press, 2004

[2] J.M. Bismut The Atiyah–Singer theorems: A probabilistic approach, Part I, J. Func. Anal., Volume 57 (1984) Part II: 57 (1984) 329–348

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