A Bismut type theorem for subelliptic heat semigroups

Fabrice Baudoin

doi:10.1016/j.crma.2007.05.005

Partial Differential Equations

A Bismut type theorem for subelliptic heat semigroups
[Un Théorème de type Bismut pour les semi-groupes de la chaleur sous-elliptiques]

Présenté par : Paul Malliavin

Fabrice Baudoin ¹

¹ Institut de mathématiques de Toulouse, Université Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex 9, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 12, pp. 765-768.

Abstract (VO)
Résumé

Given a general second order subelliptic differential operator $L$ defined on a vector bundle $E$ over a compact manifold, we study the existence of $\lim_{t \to 0} σ (p_{t} (x, x))$ , where $p_{t}$ is the heat kernel of $e^{t L}$ and σ is a linear map on $End (E_{x})$ . Our result contains as a special case the local Atiyah–Singer index theorem for Dirac operators on Clifford bundles. Our approach is based on an extension to fiber bundles of the link pointed out by Rotschild and Stein between Nilpotent Lie groups and subelliptic heat kernel asymptotics on the diagonal.

Étant donné un opérateur sous-elliptique $L$ défini sur un fibré vectoriel $E$ au dessus d'une variété riemannienne compacte, nous étudions l'existence de $\lim_{t \to 0} σ (p_{t} (x, x))$ , où $p_{t}$ est le noyau de la chaleur du semi-groupe $e^{t L}$ et où σ is a linear map on $End (E_{x})$ est une application linéaire sur $End (E_{x})$ . Notre résultat contient en particulier le théorème de l'indice local d'Atiyah–Singer pour les opérateurs de Dirac sur les fibrés de Clifford. Notre approche repose sur une extension aux fibrés vectoriels du lien mis en avant par Rotschild et Stein qui existe entre les groupes de Lie nilpotents et l'asymptotique sur la diagonale d'un noyau de la chaleur sous-elliptique.

Reçu le : 2007-02-06
Accepté le : 2007-05-15
Publié le : 2007-06-15

DOI : 10.1016/j.crma.2007.05.005

Affiliations des auteurs :

Fabrice Baudoin ¹

¹ Institut de mathématiques de Toulouse, Université Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex 9, France

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Fabrice Baudoin. A Bismut type theorem for subelliptic heat semigroups. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 12, pp. 765-768. doi : 10.1016/j.crma.2007.05.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.05.005/

Bibliographie
Cité par

[1] F. Baudoin An Introduction to the Geometry of Stochastic Flows, Imperial College Press, 2004

[2] J.M. Bismut The Atiyah–Singer theorems: A probabilistic approach, Part I, J. Func. Anal., Volume 57 (1984) Part II: 57 (1984) 329–348

Fabrice Baudoin; Erlend Grong; Gianmarco Vega-Molino A horizontal Chern–Gauss–Bonnet formula on totally geodesic foliations, Annals of Global Analysis and Geometry, Volume 61 (2022) no. 4, p. 759 | DOI:10.1007/s10455-022-09827-3
Fabrice Baudoin Stochastic Differential Equations Driven by Loops, XI Symposium on Probability and Stochastic Processes, Volume 69 (2015), p. 59 | DOI:10.1007/978-3-319-13984-5_3
Fabrice Baudoin Brownian Chen series and Atiyah–Singer theorem, Journal of Functional Analysis, Volume 254 (2008) no. 2, p. 301 | DOI:10.1016/j.jfa.2007.09.022

Cité par 3 documents. Sources : Crossref

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