Comptes Rendus
no. 12
Partial Differential Equations
A Bismut type theorem for subelliptic heat semigroups

Presented by: Paul Malliavin

Fabrice Baudoin1
1 Institut de mathématiques de Toulouse, Université Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex 9, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 12, pp. 765-768.

Given a general second order subelliptic differential operator L defined on a vector bundle E over a compact manifold, we study the existence of limt→0σ(pt(x,x)), where pt is the heat kernel of etL and σ is a linear map on End(Ex). Our result contains as a special case the local Atiyah–Singer index theorem for Dirac operators on Clifford bundles. Our approach is based on an extension to fiber bundles of the link pointed out by Rotschild and Stein between Nilpotent Lie groups and subelliptic heat kernel asymptotics on the diagonal.

Étant donné un opérateur sous-elliptique L défini sur un fibré vectoriel E au dessus d'une variété riemannienne compacte, nous étudions l'existence de limt→0σ(pt(x,x)), où pt est le noyau de la chaleur du semi-groupe etL et où σ is a linear map on End(Ex) est une application linéaire sur End(Ex). Notre résultat contient en particulier le théorème de l'indice local d'Atiyah–Singer pour les opérateurs de Dirac sur les fibrés de Clifford. Notre approche repose sur une extension aux fibrés vectoriels du lien mis en avant par Rotschild et Stein qui existe entre les groupes de Lie nilpotents et l'asymptotique sur la diagonale d'un noyau de la chaleur sous-elliptique.

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DOI: 10.1016/j.crma.2007.05.005

Fabrice Baudoin 1

1 Institut de mathématiques de Toulouse, Université Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex 9, France 
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Fabrice Baudoin. A Bismut type theorem for subelliptic heat semigroups. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 12, pp. 765-768. doi : 10.1016/j.crma.2007.05.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.05.005/

[1] F. Baudoin An Introduction to the Geometry of Stochastic Flows, Imperial College Press, 2004

[2] J.M. Bismut The Atiyah–Singer theorems: A probabilistic approach, Part I, J. Func. Anal., Volume 57 (1984) Part II: 57 (1984) 329–348

Cited by Sources:

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