Comptes Rendus
no. 17-18
Analyse numérique
Construction d'une courbe régulière d'approximation d'un ensemble de points

Présenté par : Olivier Pironneau

Alexandra Claisse1 ; Pascal Frey1, 2
1 UPMC Université Paris-06, UMR 7598, laboratoire Jacques-Louis-Lions, 75005 Paris, France
2 Universidad de Chile, UMI 2807, Centro de Modelamiento Matemática, Santiago, Chile
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 17-18, pp. 1017-1022.

Dans cette Note, on s'intéresse au problème de la construction d'une courbe régulière Γ telle que ∀x∈Γ, d(x,V)⩽ε, où d(x,V)=minx¯∈V‖x−x¯‖ pour un ensemble de points donné V supposé appartenir à la frontière d'un ouvert de R2, et pour ε, petit fixé. Pour approcher cette courbe, on résout un problème de minimisation basé sur une formulation de type ligne de niveau. La particularité du schéma numérique utilisé est qu'il s'appuie sur une triangulation anisotrope d'un domaine convexe Ω contenant V. Un exemple de construction est proposé pour illustrer cette approche.

In this Note, we deal with the problem of constructing a regular (smooth) curve Γ such that ∀x∈Γ, d(x,V)⩽ ε, where d(x,V)=minx¯∈V‖x−x¯‖ for a given point cloud V assumed to belong to the boundary of an open subset of R2 and for ε small. To approximate this curve, we solve a minimization problem based on a levelset formulation. The particularity of the corresponding numerical scheme is to solve on an anisotropic triangulation of a convex domain Ω enclosing V. A numerical example is provided to show the efficiency of the proposed approach.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/j.crma.2008.07.021
Alexandra Claisse 1 ; Pascal Frey 1, 2

1 UPMC Université Paris-06, UMR 7598, laboratoire Jacques-Louis-Lions, 75005 Paris, France
2 Universidad de Chile, UMI 2807, Centro de Modelamiento Matemática, Santiago, Chile 
@article{CRMATH_2008__346_17-18_1017_0,
     author = {Alexandra Claisse and Pascal Frey},
     title = {Construction d'une courbe r\'eguli\`ere d'approximation d'un ensemble de points},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {1017--1022},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {346},
     number = {17-18},
     year = {2008},
     doi = {10.1016/j.crma.2008.07.021},
     language = {fr},
}
TY  - JOUR
AU  - Alexandra Claisse
AU  - Pascal Frey
TI  - Construction d'une courbe régulière d'approximation d'un ensemble de points
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2008
SP  - 1017
EP  - 1022
VL  - 346
IS  - 17-18
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2008.07.021
LA  - fr
ID  - CRMATH_2008__346_17-18_1017_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Alexandra Claisse
%A Pascal Frey
%T Construction d'une courbe régulière d'approximation d'un ensemble de points
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2008
%P 1017-1022
%V 346
%N 17-18
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2008.07.021
%G fr
%F CRMATH_2008__346_17-18_1017_0
Alexandra Claisse; Pascal Frey. Construction d'une courbe régulière d'approximation d'un ensemble de points. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 17-18, pp. 1017-1022. doi : 10.1016/j.crma.2008.07.021. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.07.021/

[1] R. Abgrall Numerical discretisation of boundary conditions for first order Hamilton–Jacobi equation n triangular meshes, Comm. Pure Appl. Math., Volume 49 (1996), pp. 1339-1373

[2] D. Cohen-Steiner, F. Da, A greedy Delaunay based surface reconstruction algorithm, preprint INRIA RR-4564, 2002

[3] M. Crandall; P.L. Lions Two approximations of solutions of Hamilton–Jacobi equations, Math. Comp., Volume 43 (1984), pp. 1-19

[4] T.K. Dey, J. Giesen, J. Hudson, Delaunay based shape reconstruction from large data, in: Proc. IEEE Symposium in Parallel and Large Data Visualization and Graphics, 2001, pp. 19–27

[5] V. Ducrot; P. Frey Contrôle de l'approximaion géométrique d'une interface par une métrique anisotrope, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 345 (2007), pp. 537-542

[6] C. Gout; C. Le Guyader; L. Vese Segmentation under geometrical conditions using geodesic active contours and interpolation using level set methods, Numer. Algorithms, Volume 39 (2005) no. 1–3, pp. 155-173

[7] G. Jiang; D. Peng Weighted ENO schemes for Hamilton–Jacobi equations, SIAM J. Sci. Comput., Volume 21 (2000), pp. 2126-2143

[8] S. Osher; J.A. Sethian Fronts propagating with curvature-dependent speed: Algorithms based on Hamilton–Jacobi formulations, J. Comput. Phys., Volume 79 (1988), pp. 12-49

[9] J.A. Sethian Fast marching methods, SIAM Rev., Volume 41 (1999) no. 2, pp. 199-235

[10] M. Sussman; P. Smereka; S. Osher A level set approach for computing solutions to incompressible two-phase flow, J. Comput. Phys., Volume 114 (1994), pp. 146-159

[11] H.K. Zhao; S. Osher; B. Merriman; M. Kang Implicit and nonparametric shape reconstruction from unorganized data using a variational level set method, Comput. Vision and Image Understanding, Volume 80 (2000), pp. 295-314

[12] H.K. Zhao; S. Osher Visualization, analysis and shape reconstruction of unorganised datasets (S. Osher; N. Paragios, eds.), Geometric Level Set Methods in Imaging, Vision and Graphics, Springer, 2002

Cité par Sources :

Commentaires - Politique

Ces articles pourraient vous intéresser

Contrôle de l'approximation géométrique d'une interface par une métrique anisotrope

Vincent Ducrot; Pascal Frey

C. R. Math (2007)

Topology and geometry optimization of elastic structures by exact deformation of simplicial mesh

Grégoire Allaire; Charles Dapogny; Pascal Frey

C. R. Math (2011)

Simplification des cartes géographiques par minimisation de la déformation locale

Pascal J. Frey; Houman Borouchaki

C. R. Math (2002)