Inversion dans les tournois

Houmem Belkhechine; Moncef Bouaziz; Imed Boudabbous; Maurice Pouzet

doi:10.1016/j.crma.2010.06.022

Logique/Combinatoire

Inversion dans les tournois

Présenté par : Jean-Yves Girard

Houmem Belkhechine ¹ ; Moncef Bouaziz ² ; Imed Boudabbous ³ ; Maurice Pouzet ^4,⁵

¹ Faculté des Sciences de Gabès, Gabès, Tunisie
² Institut des technologies médicales, Tunis, Tunisie
³ Institut Préparatoire aux Études d'Ingénieurs de Sfax, Sfax, Tunisie
⁴ ICJ, mathématiques, Université Claude-Bernard Lyon 1, 69622 Villeurbanne, France
⁵ Department of Mathematics and Statistics, The University of Calgary, Calgary, Alberta, Canada

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 13-14, pp. 703-707.

Résumé
Abstract

Nous considérons la transformation qui inverse tous les arcs d'une partie X de l'ensemble des sommets d'un tournoi T. L'indice de T, noté $i (T)$ , est le plus petit nombre de parties dont il faut inverser les arcs pour ramener T à un tournoi acyclique. Il apparaît que les tournois critiques et les tournois $(- 1)$ -critiques peuvent être définis au moyen d'inversions, les premiers étant d'indice un ou deux, les seconds d'indice au plus quatre. On peut voir $i (T)$ comme le minimum de la distance de T aux tournois acycliques définis sur le même ensemble de sommets ; la distance entre deux tournois T et $T^{'}$ peut être également interprétée comme la dimension booléenne d'un graphe, celui-ci étant la somme booléenne de T et $T^{'}$ . Sur n sommets, la distance maximale vaut $n - 1$ tandis que $i (n)$ , le maximum des indices des tournois à n sommets, satisfait les inégalités $\frac{n - 1}{2} - \log_{2} n ⩽ i (n) ⩽ n - 3$ pour $n ⩾ 4$ . Soit $I_{m}^{< ω}$ (resp. $I_{m}^{⩽ ω}$ ), la classe des tournois finis (resp. au plus dénombrables) T tels que $i (T) ⩽ m$ . La classe $I_{m}^{< ω}$ est déterminée par un nombre fini d'obstructions ; nous donnons une description morphologique des éléments de $I_{1}^{< ω}$ et décrivons ses obstructions. Nous décrivons aussi un tournoi universel de la classe $I_{m}^{⩽ ω}$ .

We consider the transformation reversing all arcs of a subset X of the vertex set of a tournament T. The index of T, denoted by $i (T)$ , is the smallest number of subsets that must be reversed to make T acyclic. It turns out that critical tournaments and $(- 1)$ -critical tournaments can be defined in terms of inversions (at most two for the former, at most four for the latter). We interpret $i (T)$ as the minimum distance of T to the transitive tournaments on the same vertex set, and we interpret the distance between two tournaments T and $T^{'}$ as the Boolean dimension of a graph, namely the Boolean sum of T and $T^{'}$ . On n vertices, the maximum distance is at most $n - 1$ , whereas $i (n)$ , the maximum of $i (T)$ over the tournaments on n vertices, satisfies $\frac{n - 1}{2} - \log_{2} n ⩽ i (n) ⩽ n - 3$ , for $n ⩾ 4$ . Let $I_{m}^{< ω}$ (resp. $I_{m}^{⩽ ω}$ ) be the class of finite (resp. at most countable) tournaments T such that $i (T) ⩽ m$ . The class $I_{m}^{< ω}$ is determined by finitely many obstructions. We give a morphological description of the members of $I_{1}^{< ω}$ and a description of the critical obstructions. We give an explicit description of a universal tournament of the class $I_{m}^{⩽ ω}$ .

Reçu le : 2010-02-27
Accepté le : 2010-06-25
Publié le : 2010-07-01

DOI : 10.1016/j.crma.2010.06.022

Affiliations des auteurs :

Houmem Belkhechine ¹ ; Moncef Bouaziz ² ; Imed Boudabbous ³ ; Maurice Pouzet ^{4, 5}

¹ Faculté des Sciences de Gabès, Gabès, Tunisie
² Institut des technologies médicales, Tunis, Tunisie
³ Institut Préparatoire aux Études d'Ingénieurs de Sfax, Sfax, Tunisie
⁴ ICJ, mathématiques, Université Claude-Bernard Lyon 1, 69622 Villeurbanne, France
⁵ Department of Mathematics and Statistics, The University of Calgary, Calgary, Alberta, Canada

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Houmem Belkhechine; Moncef Bouaziz; Imed Boudabbous; Maurice Pouzet. Inversion dans les tournois. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 13-14, pp. 703-707. doi : 10.1016/j.crma.2010.06.022. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2010.06.022/

Bibliographie
Cité par

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Cité par Sources :

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