Tournois indécomposables et leurs sous-tournois indécomposables à 5 sommets

Houmem Belkhechine; Imed Boudabbous

doi:10.1016/j.crma.2006.10.029

Logique/Combinatoire

Tournois indécomposables et leurs sous-tournois indécomposables à 5 sommets

Présenté par : Jean-Yves Girard

Houmem Belkhechine ¹ ; Imed Boudabbous ²

¹ Université du 7 novembre à Carthage, institut supérieur des sciences appliquées et de technologie de Mateur, route de Tabarka, 7030 Mateur, Tunisie
² Université de Sfax, institut supérieur de biotechnologies, route de la Sokra Km 4, BP 38, 3080 Sfax, Tunisie

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 11-12, pp. 685-688.

Résumé
Abstract

Étant donné un tournoi $T = (S, A)$ , une partie X de S est un intervalle de T lorsque pour tous $a, b \in X$ et $x \in S - X$ , $(a, x) \in A$ si et seulement si $(b, x) \in A$ . Par exemple, ∅, ${x} (x \in S)$ et S sont des intervalles de T, appelés intervalles triviaux. Un tournoi dont tous les intervalles sont triviaux, est indécomposable ; sinon, il est décomposable. À un isomorphisme près, les tournois indécomposables à 5 sommets sont au nombre de trois. Nous les notons $T_{5}$ , $U_{5}$ et $V_{5}$ . On dit qu'un tournoi T abrite un tournoi $T^{'}$ si $T^{'}$ est isomorphe à un sous-tournoi de T. Cette Note consiste en une étude morphologique des tournois indécomposables, que nous présentons suivant les tournois indécomposales à 5 sommets qu'ils abritent. Nous caractérisons la classe $T$ des tournois indécomposables dont tous les sous-tournois indécomposales à 5 sommets sont isomorphes à $T_{5}$ et nous montrons que si un tournoi indécomposable, n'appartenant pas à la classe $T$ , abrite $T_{5}$ , alors il abrite $V_{5}$ et $U_{5}$ .

Given a tournament $T = (V, A)$ , a subset X of V is an interval of T provided that for every $a, b \in X$ and $x \in V - X$ , $(a, x) \in A$ if and only if $(b, x) \in A$ . For example, ∅, ${x} (x \in V)$ and V are intervals of T, called trivial intervals. A tournament, all the intervals of which are trivial, is indecomposable; otherwise, it is decomposable. Up to an isomorphism, there are exactly three indecomposable tournaments with 5 vertices denoted by $T_{5}$ , $U_{5}$ and $V_{5}$ . We say that a tournament T embeds in a tournament $T^{'}$ when T is isomorphic to a subtournament of $T^{'}$ . This Note consists of a morphologic study of indecomposable tournaments, which we present according to the indecomposable subtournaments with 5 vertices embedding in. We characterize the class $T$ of indecomposable tournaments, all indecomposable subtournaments with 5 vertices of which are isomorphic to $T_{5}$ and we prove that, if $T_{5}$ embeds in an indecomposable tournament T, not belonging to the class $T$ , then each of $V_{5}$ and $U_{5}$ embeds in T.

Reçu le : 2006-10-18
Accepté le : 2006-10-27
Publié le : 2006-12-01

DOI : 10.1016/j.crma.2006.10.029

Affiliations des auteurs :

Houmem Belkhechine ¹ ; Imed Boudabbous ²

¹ Université du 7 novembre à Carthage, institut supérieur des sciences appliquées et de technologie de Mateur, route de Tabarka, 7030 Mateur, Tunisie
² Université de Sfax, institut supérieur de biotechnologies, route de la Sokra Km 4, BP 38, 3080 Sfax, Tunisie

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Houmem Belkhechine; Imed Boudabbous. Tournois indécomposables et leurs sous-tournois indécomposables à 5 sommets. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 11-12, pp. 685-688. doi : 10.1016/j.crma.2006.10.029. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.10.029/

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