Comptes Rendus
Harmonic Analysis
The Kahane theorem for nonspherical partial sums of Fourier integrals
[Le théorème de Kahane pour les sommes partielles non sphériques des intégrales de Fourier]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 19-20, pp. 1103-1106.

Pour n>2 on sait que les sommes partielles sphériques des intégrales n-ièmes de la fonction caractéristique d'une boule divergent à l'origine ; cela résulte du saut de cette fonction à la frontière de la boule. La relation entre les propriétés de convergence des sommes partielles sphériques et la géométrie des discontinuités de la fonction considérée a été étudiée en détail dans un article bien connu de Kahane : le résultat le plus intéressant démontré par Kahane est que pour la fonction caractéristique d'un domaine borné de R3 la proposition réciproque est également vraie, à savoir que si la surface est analytique et si l'inverse de Fourier est réduite à un point, alors la surface doit être une sphère et le point est le centre de cette sphère. Dans cette Note on considère des sommes partielles non sphériques, c'est-à-dire des intégrales de Fourier sur des ensembles symétriques, fortement convexes bornés à frontières régulières ; on démontre ainsi une généralisation naturelle du théorème de Kahane.

When n>2 it is well known that the spherical partial sums of n-fold Fourier integrals of the characteristic function of a ball diverge at the origin, because of the jump at the boundary of the ball. The relation between convergence properties of spherical partial sums and geometry of discontinuities of the function being expanded was investigated in the well-known paper of Kahane. The most remarkable result, proved by Kahane in this paper, asserts that for the characteristic function of a bounded domain in R3 the inverse statement is also true: if the surface is analytic and if the spherical Fourier inversion fails at a single point, then the surface must be a sphere and the point must be the center. In this Note we consider nonspherical partial sums, i.e. Fourier integrals under summation over smoothly bounded strongly convex symmetric sets and prove the natural generalization of the Kahane theorem.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/j.crma.2010.07.029

Ravshan Ashurov 1 ; Almaz Butaev 1

1 Institute of Advanced Technology, Universiti Putra Malaysia, 43400, Serdang, Selangor, Malaysia
@article{CRMATH_2010__348_19-20_1103_0,
     author = {Ravshan Ashurov and Almaz Butaev},
     title = {The {Kahane} theorem for nonspherical partial sums of {Fourier} integrals},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {1103--1106},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {348},
     number = {19-20},
     year = {2010},
     doi = {10.1016/j.crma.2010.07.029},
     language = {en},
}
TY  - JOUR
AU  - Ravshan Ashurov
AU  - Almaz Butaev
TI  - The Kahane theorem for nonspherical partial sums of Fourier integrals
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2010
SP  - 1103
EP  - 1106
VL  - 348
IS  - 19-20
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2010.07.029
LA  - en
ID  - CRMATH_2010__348_19-20_1103_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Ravshan Ashurov
%A Almaz Butaev
%T The Kahane theorem for nonspherical partial sums of Fourier integrals
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2010
%P 1103-1106
%V 348
%N 19-20
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2010.07.029
%G en
%F CRMATH_2010__348_19-20_1103_0
Ravshan Ashurov; Almaz Butaev. The Kahane theorem for nonspherical partial sums of Fourier integrals. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 19-20, pp. 1103-1106. doi : 10.1016/j.crma.2010.07.029. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2010.07.029/

[1] Sh.A. Alimov On the eigenfunction expansion of a piecewise smooth function, J. Fourier Anal. Appl., Volume 9 (2003) no. 1, pp. 67-76

[2] Sh.A. Alimov Sets of uniform convergence of Fourier expansions of piecewise smooth functions, J. Fourier Anal. Appl., Volume 10 (2004) no. 6, pp. 635-644

[3] Sh.A. Alimov Dependence of the convergence domain of spectral expansions on the geometry of the set of discontinuity of the function being expanded, Mat. Zametki, Volume 79 (2006) no. 2, pp. 178-193

[4] Sh.A. Alimov; R.R. Ashurov; A.K. Pulatov Multiple Fourier series and Fourier integrals, Commutative Harmonic Analysis, vol. IV, Springer-Verlag, 1992, pp. 1-97

[5] R. Ashurov; A. Butaev On the Pinsky phenomenon http://www.springerlink.com (J. Fourier Anal. Appl., available at:)

[6] V.A. Borovikov; F.J. Mendoza The problem of the pointwise Fourier inversion for piecewise smooth functions of several variables, J. Fourier Anal. Appl., Volume 8 (2002) no. 4, pp. 399-406

[7] M.V. Fedoryuk The Saddle-Point Method, Nauka, Moscow, 1977 (in Russian)

[8] J. Kahane Le phénomène de Pinsky et la géometrie des surfaces, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 321 (1995), pp. 1027-1029

[9] V.P. Maslov The expansion of a function that depends on a parameter in an absolutely converging Fourier series of eigenfunctions of a pseudodifferential operator, Uspekhi Mat. Nauk [Russian Math. Surveys], Volume 1 (1970) no. 151, pp. 195-196

[10] V.P. Maslov Absolute convergence properties of multidimensional Fourier series from the standpoint of the geometry of the weak discontinuities of the functions being expanded, Dokl. Akad. Nauk SSSR, Volume 2 (1970) no. 191, pp. 275-278

[11] O'Neill Elementary Differential Geometry, Academic Press, 1997

[12] M.A. Pinsky Fourier inversion for piecewise smooth functions in several variables, Proc. AMS, Volume 118 (1993), pp. 903-910

[13] M.A. Pinsky; M. Taylor Pointwise Fourier inversion: A wave equation approach, J. Fourier Anal. Appl., Volume 3 (1997) no. 6, pp. 647-703

[14] A. Sadullaev The boundary uniqueness theorem in Cn, Mat. Sb., Volume 101 (143) (1976) no. 4(12), pp. 568-583 (in Russian)

[15] M. Taylor Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1981 (451 pp)

Cité par Sources :

Commentaires - Politique