En combinant les résultats de Hendriks (1996) [6], Di Vizio (2002) [1] et Di Vizio, Hardouin [2], nous prouvons que les groupes de Galois génériques, usuel et différentiel, d'un module aux q-différences sur peuvent toujours être caractérisés à l'aide d'un ensemble convenable de courbures, dans l'esprit de Katz (1982) [8]. Nous utilisons ce résultat pour prouver que le D-groupoïde de Malgrange–Granier d'un système aux q-différences linéaire coïncide, dans un sens que nous spécifions dans le texte ci-dessous, avec une sorte de clôture de Kolchin de la dynamique du système aux q-différences, et que le groupe qui fixe une transversale du groupoïde coïncide avec le groupe de Galois différentiel générique.
Combining the results in Hendriks (1996) [6], Di Vizio (2002) [1] and Di Vizio, Hardouin [2], we prove that the generic, algebraic or differential, Galois group of a q-difference modules over can always be characterized in terms of v-curvatures, in the spirit of the work of Katz (1982) [8]. We use this result to prove that the Malgrange–Granier D-groupoid of a linear q-difference system coincide, in a sense that we specify below, with a sort of Kolchin closure of the dynamics of the linear q-difference system and that the group that fixes a transversal, coincide with the differential generic Galois group.
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Lucia Di Vizio 1 ; Charlotte Hardouin 2
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TY - JOUR AU - Lucia Di Vizio AU - Charlotte Hardouin TI - Courbures, groupes de Galois génériques et D-groupoïde de Galois d'un système aux q-différences JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2010 SP - 951 EP - 954 VL - 348 IS - 17-18 PB - Elsevier DO - 10.1016/j.crma.2010.08.001 LA - fr ID - CRMATH_2010__348_17-18_951_0 ER -
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Lucia Di Vizio; Charlotte Hardouin. Courbures, groupes de Galois génériques et D-groupoïde de Galois d'un système aux q-différences. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 17-18, pp. 951-954. doi : 10.1016/j.crma.2010.08.001. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2010.08.001/
[1] Arithmetic theory of q-difference equations. The q-analogue of Grothendieck–Katz's conjecture on p-curvatures, Inventiones Mathematicae, Volume 150 (2002) no. 3, pp. 517-578 | arXiv
[2] Algebraic and differential generic galois groups for q-difference equations (followed by the appendix ‘The Galois D-groupoid of a q-difference system’ by Anne Granier soumis pour publication) | arXiv
[3] A. Granier, A local D-groupoid for fuchsian q-difference equations, 2009, à paraître aux Annales de l'Institut Fourier.
[4] Un D-groupoïde de galois local pour les systèmes aux q-différences fuchsiens, Comptes Rendus Mathématique, Volume 348 (2010) no. 5–6, pp. 263-265
[5] Differential Galois theory of linear difference equations, Mathematische Annalen, Volume 342 (2008) no. 2, pp. 333-377
[6] P. Hendriks, Algebraic aspects of linear differential and difference equations, Ph.D. thesis, University of Groningen, 1996.
[7] An Introduction to Differential Algebra, Hermann, Paris, 1957
[8] A conjecture in the arithmetic theory of differential equations, Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 110 (1982) no. 2, pp. 203-239
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[11] A. Peón Nieto, On sigmadelta-picard-vessiot extensions, Communications in Algebra (2009), in press.
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