Équivalence élémentaire de puissances cartésiennes d'un même groupe

Anatole Khelif; Saharon Shelah

doi:10.1016/j.crma.2010.10.034

Logique

Équivalence élémentaire de puissances cartésiennes d'un même groupe
[Elemental equivalence of Cartesian powers of the same group]

Presented by: Jean-Yves Girard

Anatole Khelif ¹; Saharon Shelah ²

¹ Équipe de logique mathématique, université Paris Diderot Paris 7, UFR de mathématiques, case 7012, site Chevaleret, 75205 Paris cedex 13, France
² Institute of Mathematics, The Hebrew University of Jerusalem, Jerusalem 91904, Israël

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 23-24, pp. 1241-1244.

Abstract
Résumé

We prove that if I and J are infinite sets and G a commutative torsion group, the groups $G^{I}$ and $G^{J}$ are elementarily equivalent for the logic $L_{\infty ω}$ . The proof is based on a new and simple property with a Cantor–Bernstein flavour.

A criterion applying to non-commutative groups allows us to exhibit various groups (free or soluble or nilpotent or …) G such that for I infinite countable and J uncountable the groups $G^{I}$ and $G^{J}$ are not even elementarily equivalent for the $L_{ω_{1} ω}$ logic. Another argument leads to a countable commutative group having the same property.

Nous démontrons que si I et J sont des ensembles infinis et G un groupe commutatif de torsion les groupes $G^{I}$ et $G^{J}$ sont élémentairement équivalents pour la logique $L_{\infty ω}$ . La démonstration utilise de façon essentielle une propriété nouvelle et simple « à la Cantor–Bernstein ».

Un critère s'appliquant à des groupes noncommutatifs nous permet d'exhiber divers groupes (libres ou résolubles ou nilpotents ou …) G tels que pour I infini dénombrable et J non dénombrable les groupes $G^{I}$ et $G^{J}$ ne sont même pas élémentairement équivalents pour la logique $L_{ω_{1} ω}$ . Nous construisons à la main un groupe commutatif dénombrable ayant la même propriété.

Received: 2010-10-26
Published online: 2010-11-10

DOI: 10.1016/j.crma.2010.10.034

Author's affiliations:

Anatole Khelif ¹; Saharon Shelah ²

¹ Équipe de logique mathématique, université Paris Diderot Paris 7, UFR de mathématiques, case 7012, site Chevaleret, 75205 Paris cedex 13, France
² Institute of Mathematics, The Hebrew University of Jerusalem, Jerusalem 91904, Israël

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Anatole Khelif; Saharon Shelah. Équivalence élémentaire de puissances cartésiennes d'un même groupe. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 23-24, pp. 1241-1244. doi : 10.1016/j.crma.2010.10.034. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2010.10.034/

References
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