Équivalence élémentaire de puissances cartésiennes d'un même groupe

Anatole Khelif; Saharon Shelah

doi:10.1016/j.crma.2010.10.034

Logique

Équivalence élémentaire de puissances cartésiennes d'un même groupe
[Elemental equivalence of Cartesian powers of the same group]

Presented by: Jean-Yves Girard

Anatole Khelif ¹; Saharon Shelah ²

¹Équipe de logique mathématique, université Paris Diderot Paris 7, UFR de mathématiques, case 7012, site Chevaleret, 75205 Paris cedex 13, France
²Institute of Mathematics, The Hebrew University of Jerusalem, Jerusalem 91904, Israël

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 23-24, pp. 1241-1244

Résumé (Original language)
Abstract

Nous démontrons que si I et J sont des ensembles infinis et G un groupe commutatif de torsion les groupes $G^{I}$ et $G^{J}$ sont élémentairement équivalents pour la logique $L_{\infty ω}$ . La démonstration utilise de façon essentielle une propriété nouvelle et simple « à la Cantor–Bernstein ».

Un critère s'appliquant à des groupes noncommutatifs nous permet d'exhiber divers groupes (libres ou résolubles ou nilpotents ou …) G tels que pour I infini dénombrable et J non dénombrable les groupes $G^{I}$ et $G^{J}$ ne sont même pas élémentairement équivalents pour la logique $L_{ω_{1} ω}$ . Nous construisons à la main un groupe commutatif dénombrable ayant la même propriété.

We prove that if I and J are infinite sets and G a commutative torsion group, the groups $G^{I}$ and $G^{J}$ are elementarily equivalent for the logic $L_{\infty ω}$ . The proof is based on a new and simple property with a Cantor–Bernstein flavour.

A criterion applying to non-commutative groups allows us to exhibit various groups (free or soluble or nilpotent or …) G such that for I infinite countable and J uncountable the groups $G^{I}$ and $G^{J}$ are not even elementarily equivalent for the $L_{ω_{1} ω}$ logic. Another argument leads to a countable commutative group having the same property.

Received: 2010-10-26
Published online: 2010-11-10

DOI: 10.1016/j.crma.2010.10.034

Author's affiliations:

Anatole Khelif ¹ ; Saharon Shelah ²

¹ Équipe de logique mathématique, université Paris Diderot Paris 7, UFR de mathématiques, case 7012, site Chevaleret, 75205 Paris cedex 13, France
² Institute of Mathematics, The Hebrew University of Jerusalem, Jerusalem 91904, Israël

@article{CRMATH_2010__348_23-24_1241_0,
     author = {Anatole Khelif and Saharon Shelah},
     title = {\'Equivalence \'el\'ementaire de puissances cart\'esiennes d'un m\^eme groupe},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {1241--1244},
     year = {2010},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {348},
     number = {23-24},
     doi = {10.1016/j.crma.2010.10.034},
     language = {fr},
}

TY  - JOUR
AU  - Anatole Khelif
AU  - Saharon Shelah
TI  - Équivalence élémentaire de puissances cartésiennes d'un même groupe
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2010
SP  - 1241
EP  - 1244
VL  - 348
IS  - 23-24
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2010.10.034
LA  - fr
ID  - CRMATH_2010__348_23-24_1241_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Anatole Khelif
%A Saharon Shelah
%T Équivalence élémentaire de puissances cartésiennes d'un même groupe
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2010
%P 1241-1244
%V 348
%N 23-24
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2010.10.034
%G fr
%F CRMATH_2010__348_23-24_1241_0

Anatole Khelif; Saharon Shelah. Équivalence élémentaire de puissances cartésiennes d'un même groupe. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 23-24, pp. 1241-1244. doi: 10.1016/j.crma.2010.10.034

References
Cited by

[1] A.B. Apps On the structure of $ℵ_{0}$ -categorical groups, J. Algebra, Volume 81 (1983), pp. 320-339

[2] J. Barwise; P. Eklof Infinitary properties of abelian torsion groups, Ann. Math. Logic, Volume 2 (1970), pp. 25-68

[3] M. Jarden; A. Lubotzky Elementary equivalence of profinite groups, Bull. London Math. Soc., Volume 40 (2008), pp. 887-896

[4] G. Sabbagh; P. Eklof Definability problems for modules and rings, J. Symbolic Logic, Volume 36 (1971), pp. 623-649

[5] R.B. Warfield Classification theorems for p-groups and modules over a discrete valuation ring, Bull. Amer. Math. Soc., Volume 78 (1972), pp. 88-92

Cited by Sources:

Comments - Policy