Sharp $ {L}^{p}$-bounds for a perturbation of Burkholderʼs Martingale Transform

Nicholas Boros; Prabhu Janakiraman; Alexander Volberg

doi:10.1016/j.crma.2011.01.001

Harmonic Analysis/Probability Theory

Sharp

L^{p}

-bounds for a perturbation of Burkholderʼs Martingale Transform
[Estimations optimales dans

L_{p}

pour des transformations de martingale perturbées]

Présenté par : Gilles Pisier

Nicholas Boros ¹ ; Prabhu Janakiraman ¹ ; Alexander Volberg ¹

¹ Department of Mathematics, Michigan State University, East Lansing, MI 48824, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 5-6, pp. 303-307.

Résumé
Abstract

Le calcul de la norme des opérateurs du type intégrales singulières est connu seulement dans très peu de cas. Le cas le plus célèbre est celui de la transformation de martingale dans $L^{p}$ trouvée par Burkholder égale à $p^{⁎} - 1$ . Outre des résultats de Pichorides (1972) [6], on peut signaler un résultat de Choi (1988) [3] et un calcul récent de $‖ R_{1}^{2} - R_{2}^{2} ‖_{p}$ par Nazarov et Volberg (2003) [5], Banuelos et Janakiraman (2008) [1], et par Geiss, Montgomery-Smith et Saksman (2010) [4]. Les transformées de Riesz sur $R^{2}$ sont notées $R_{1}$ et $R_{2}$ . La note est consacrée à un résultat qui donne la norme dʼune certaine perturbation de $R_{1}^{2} - R_{2}^{2}$ .

Let ${d_{k}}_{k ⩾ 1}$ be a real martingale difference in $L^{p} [0, 1)$ , where $1 < p < \infty$ , and ${ε_{k}}_{k ⩾ 1} \subset {\pm 1}$ . We obtain the following generalization of Burkholderʼs famous result. If $τ \in [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ and $n \in Z_{+}$ then

‖ \sum_{k = 1}^{n} (ε_{k} d_{k}, τ d_{k}) ‖_{L^{p} ([0, 1), R^{2})} ⩽ ((p^{⁎} - 1)^{2} + τ^{2})^{\frac{1}{2}} ‖ \sum_{k = 1}^{n} d_{k} ‖_{L^{p} ([0, 1), R)},

where

{({(p^{⁎} - 1)}^{2} + τ^{2})}^{\frac{1}{2}}

is sharp and

p^{⁎} - 1 = \max {p - 1, \frac{1}{p - 1}}

Reçu le : 2010-11-15
Accepté le : 2011-01-04
Publié le : 2011-01-26

DOI : 10.1016/j.crma.2011.01.001

Affiliations des auteurs :

Nicholas Boros ¹ ; Prabhu Janakiraman ¹ ; Alexander Volberg ¹

¹ Department of Mathematics, Michigan State University, East Lansing, MI 48824, USA

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AU  - Nicholas Boros
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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Nicholas Boros; Prabhu Janakiraman; Alexander Volberg. Sharp $ {L}^{p}$-bounds for a perturbation of Burkholderʼs Martingale Transform. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 5-6, pp. 303-307. doi : 10.1016/j.crma.2011.01.001. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2011.01.001/

Bibliographie
Cité par

[1] R. Bañuelos; P. Janakiraman $L^{p}$ -bounds for the Beurling–Ahlfors transform, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 360 (2008), pp. 3603-3612

[2] D. Burkholder Boundary value problems and sharp estimates for the martingale transforms, Ann. Probab., Volume 12 (1984), pp. 647-702

[3] K.P. Choi Some sharp inequalities for martingale transforms, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 307 (1988), pp. 279-300

[4] S. Geiss; S. Montgomery-Smith; E. Saksman On singular integral and martingale transforms, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 362 (2010), pp. 553-575

[5] F. Nazarov; A. Volberg Heating the Beurling operator and estimates of its norms, St. Petersburg Math. J., Volume 14 (2003) no. 3

[6] S. Pichorides On the best value of the constants in the theorems of Riesz, Zygmund, and Kolmogorov, Studia Math., Volume 44 (1972), pp. 165-179

[7] V. Vasyunin, A. Volberg, The Bellman function technique in harmonic analysis, sashavolberg.wordpress.com.

[8] V. Vasyunin; A. Volberg Burkholderʼs function via Monge–Ampère equation, 2010 | arXiv

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