Comptes Rendus
Théorie des nombres
Formes modulaires modulo 2 : Lʼordre de nilpotence des opérateurs de Hecke
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 7-8, pp. 343-348.

Soit Δ=m=0q(2m+1)2F2[[q]]. Une forme modulaire f mod 2 de niveau 1 est un polynôme en Δ. Si p est un nombre premier >2, lʼopérateur de Hecke Tp transforme f en une forme modulaire Tp(f) qui est un polynôme en Δ de degré strictement plus petit que celui de f, de sorte que Tp est nilpotent.

Lʼordre de nilpotence de f est défini comme le plus petit entier g=g(f) tel que, pour toute famille de g nombres premiers impairs p1,p2,,pg, on ait Tp1Tp2Tpg(f)=0. Nous montrons dans ce qui suit comment on peut calculer g(f) ; on a g(f)deg(f)1/2.

Let Δ=m=0q(2m+1)2F2[[q]] be the reduction mod 2 of the Δ series. A modular form f modulo 2 of level 1 is a polynomial in Δ. If p is an odd prime, then the Hecke operator Tp transforms f in a modular form Tp(f) which is a polynomial in Δ whose degree is smaller than the degree of f, so that Tp is nilpotent.

The order of nilpotence of f is defined as the smallest integer g=g(f) such that, for every family of g odd primes p1,p2,,pg, the relation Tp1Tp2Tpg(f)=0 holds. We show how one can compute explicitly g(f); if f is a polynomial of degree d in Δ, one finds that g(f)d1/2.

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DOI : 10.1016/j.crma.2012.03.013

Jean-Louis Nicolas 1 ; Jean-Pierre Serre 2

1 CNRS, Université de Lyon, Institut Camille Jordan, Mathématiques, 69622 Villeurbanne cedex, France
2 Collège de France, 3, rue dʼUlm, 75231 Paris cedex 05, France
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[1] K. Hatada Eigenvalues of Hecke operators on SL(2,Z), Math. Ann., Volume 239 (1979), pp. 75-96

[2] J.-L. Nicolas Parité des valeurs de la fonction de partition p(n) et anatomie des entiers, CRM Proceedings and Lecture Notes, vol. 46, Centre de Recherches Mathématiques, 2008, pp. 97-113

[3] K. Ono The Web of Modularity: Arithmetic of the Coefficients of Modular Forms and q-Series, CBMS, vol. 102, Amer. Math. Soc., 2004

[4] J.-P. Serre Valeurs propres des opérateurs de Hecke modulo , Astérisque, Volume 24–25 (1975), pp. 109-117

[5] H.P.F. Swinnerton-Dyer On -Adic Representations and Congruences for Coefficients of Modular Forms, Lect. Notes, vol. 350, Springer, 1973 (pp. 1–55)

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