Rational curves on Fermat hypersurfaces

Mingmin Shen

doi:10.1016/j.crma.2012.09.015

Algebraic Geometry

Rational curves on Fermat hypersurfaces
[Courbes rationnelles sur des hypersurfaces de Fermat]

Présenté par : Claire Voisin

Mingmin Shen ¹

¹ DPMMS, University of Cambridge, Wilberforce Road, Cambridge CB3 0WB, UK

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 15-16, pp. 781-784.

Résumé
Abstract

Note nous étudions les courbes rationnelles sur les hypersurfaces de Fermat de degré $p^{r} + 1$ dans $P_{k}^{p^{r} + 1}$ , où k est un corps algébriquement clos de caractéristique p. Le point essentiel est la présence du morphisme de Frobenius qui rend le comportement des courbes rationnelles très différent du cas de caractéristique 0. Nous montrons que si $N_{0}$ est un entier tel que pour tout $e ⩾ N_{0}$ il y ait une courbe rationnelle très libre de degré e sur lʼhypersurface de Fermat, alors $N_{0} > p^{r} (p^{r} - 1)$ .

In this note we study rational curves on degree $p^{r} + 1$ Fermat hypersurface in $P_{k}^{p^{r} + 1}$ , where k is an algebraically closed field of characteristic p. The key point is that the presence of Frobenius morphism makes the behavior of rational curves to be very different from that of characteristic 0. We show that if there exists $N_{0}$ such that for all $e ⩾ N_{0}$ there is a degree e very free rational curve on X, then $N_{0} > p^{r} (p^{r} - 1)$ .

Reçu le : 2012-07-18
Accepté le : 2012-09-18
Publié le : 2012-08-01

DOI : 10.1016/j.crma.2012.09.015

Affiliations des auteurs :

Mingmin Shen ¹

¹ DPMMS, University of Cambridge, Wilberforce Road, Cambridge CB3 0WB, UK

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Mingmin Shen. Rational curves on Fermat hypersurfaces. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 15-16, pp. 781-784. doi : 10.1016/j.crma.2012.09.015. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2012.09.015/

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