Soient un espace de probabilité et X un espace de Banach. On montre que les espaces X et sont complémentés dans et , respectivement, si et seulement si est complémenté dans son bidual, . Si , il faut considérer au lieu de .
Dans la suite, on suppose que X contient une copie de . En construisant une copie convenable de dans lorsque μ est sans atome, on montre que nʼest pas complémenté dans , .
Soit E le sous espace fermé de définissant des opérateurs : , où Z est un sous espace fermé de . On construit une copie de dans E lorsque nʼest pas isomorphe à un espace de Hilbert. On en déduit que, si de plus ne contient pas de copie de , lʼespace nʼest pas complémenté dans E.
Les deux premiers résultats sont connus pour , en remplaçant par sa copie isométrique .
Let be a probability space and X a Banach space. We first show that X and are complemented in and , respectively, if and only if is complemented in its bidual, . If , one considers instead of .
We now assume that X contains a copy of . By constructing a suitable copy of in if μ is atomless, we show that is not complemented in , .
Let E be the closed subspace of defining operators: , where Z is a closed subspace of . We construct a copy of in E when is not isomorphic to a Hilbert space. We deduce that, if moreover contains no copy of , the subspace is not complemented in E.
The first two results are known for , replacing by its isometric copy .
@article{CRMATH_2014__352_1_43_0, author = {Mohammad Daher}, title = {Une remarque sur les sous-espaces compl\'ement\'es de $ {\mathit{VB}}^{p}(\mu ,X)$}, journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique}, pages = {43--49}, publisher = {Elsevier}, volume = {352}, number = {1}, year = {2014}, doi = {10.1016/j.crma.2013.10.036}, language = {fr}, }
Mohammad Daher. Une remarque sur les sous-espaces complémentés de $ {\mathit{VB}}^{p}(\mu ,X)$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 352 (2014) no. 1, pp. 43-49. doi : 10.1016/j.crma.2013.10.036. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2013.10.036/
[1] comme sous-espace complémenté de , Coll. Math., Volume 131 (2013) no. 2, pp. 273-286
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[5] Vector Measures, Pergamon, New York, 1967
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[12] Real Analysis, Macmillan Publishing Company, New York, 1988
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