Partially hyperbolic diffeomorphisms on Heisenberg nilmanifolds and holonomy maps

Yi Shi

doi:10.1016/j.crma.2014.07.002

Dynamical systems

Partially hyperbolic diffeomorphisms on Heisenberg nilmanifolds and holonomy maps
[Difféomorphismes partiellement hyperboliques de la nil-variété de Heisenberg et applications d'holonomie]

Présenté par : Étienne Ghys

Yi Shi ^1,²

¹ School of Mathematical Sciences, Peking University, Beijing 100871, China
² Institut de mathématiques de Bourgogne, Université de Bourgogne, 21000 Dijon, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 352 (2014) no. 9, pp. 743-747.

Résumé
Abstract

Dans cette note, nous démontrons que les automorphismes partiellement hyperboliques de la nil-variété non abélienne de dimension 3 peuvent tous être approchés dans la topologie $C^{1}$ par des difféomorphismes structurellement stables, chacun possédant un attracteur et un répulseur comme seuls ensembles récurrents par chaîne. Cela implique que ces automorphismes partiellement hyperboliques ne sont pas robustement transitifs. Comme corollaire, nous en déduisons que les holonomies des feuilletages stables et instables des difféomorphismes approximants sont des homéomorphismes quasi périodiquement forcés twistés du cercle, qui sont transitifs mais pas minimaux, qui satisfont à certaines propriétés de régularité dans les fibres.

In this note we show that all partially hyperbolic automorphisms on a 3-dimensional non-Abelian nilmanifold can be $C^{1}$ -approximated by structurally stable $C^{\infty}$ -diffeomorphisms, whose chain recurrent set consists of one attractor and one repeller. In particular, all these partially hyperbolic automorphisms are not robustly transitive. As a corollary, the holonomy maps of the stable and unstable foliations of the approximating diffeomorphisms are twisted quasiperiodically forced circle homeomorphisms, which are transitive but non-minimal and satisfy certain fiberwise regularity properties.

Reçu le : 2014-03-07
Accepté le : 2014-07-06
Publié le : 2014-07-23

DOI : 10.1016/j.crma.2014.07.002

Affiliations des auteurs :

Yi Shi ^{1, 2}

¹ School of Mathematical Sciences, Peking University, Beijing 100871, China
² Institut de mathématiques de Bourgogne, Université de Bourgogne, 21000 Dijon, France

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Yi Shi. Partially hyperbolic diffeomorphisms on Heisenberg nilmanifolds and holonomy maps. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 352 (2014) no. 9, pp. 743-747. doi : 10.1016/j.crma.2014.07.002. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2014.07.002/

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