Comptes Rendus
no. 3
Équations aux dérivées partielles/Problèmes mathématiques de la mécanique
Sur l'existence locale pour une équation de scalaires actifs

Présenté par : le comité de rédaction

Weiwei Hu1 ; Igor Kukavica1 ; Mohammed Ziane1
1 Department of Mathematics, University of Southern California, Los Angeles, CA, USA
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 3, pp. 241-245.

Dans cette Note, nous étudions l'existence locale des solutions pour l'équation du scalaire actif ∂tθ+u⋅∇θ=0 où u=−∇⊥(−Δ)−1+β/2θ. Cette équation correspond à l'équation d'Euler quand β=0 et à l'équation quasi-géostrophique quand β=1. Nous montrons l' existence locale dans l'espace H1+β+ϵ, où ϵ>0, pour 1<β<2. Un résultat récent de Chae, Constantin, Córdoba, Gancedo et Wu montre l'existence locale dans H4. L'amélioration est due à des nouvelles estimations plus précises du commutateur, et l'exposant fractionnaire est obtenu par un traitement different de la non-linéarité en utilisant une inégalité double du commutateur.

We address the local well-posedness for the active scalar equation ∂tθ+u⋅∇θ=0 where u=−∇⊥(−Δ)−1+β/2θ. This equation reduces to the Euler equation if β=0 and to the quasi-geostrophic equation for β=1. In this note, we prove the local existence for the equation in the space H1+β+ϵ, where ϵ>0, for 1<β<2. An earlier result by Chae, Constantin, Córdoba, Gancedo, and Wu shows the local existence in H4. The improvement is due to a sharper commutator estimate, while the fractional exponent is obtained through a different treatment of the nonlinearity using a double commutator inequality.

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DOI : 10.1016/j.crma.2014.12.008
Weiwei Hu 1 ; Igor Kukavica 1 ; Mohammed Ziane 1

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Weiwei Hu; Igor Kukavica; Mohammed Ziane. Sur l'existence locale pour une équation de scalaires actifs. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 3, pp. 241-245. doi : 10.1016/j.crma.2014.12.008. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2014.12.008/

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