Comptes Rendus
no. 3
Analyse mathématique/Équations aux dérivées partielles
Profils locaux et problèmes elliptiques à plusieurs échelles avec défauts

Présenté par : Alain Bensoussan

Xavier Blanc1 ; Claude Le Bris2 ; Pierre-Louis Lions3, 4
1 Univ. Paris Diderot, Sorbonne Paris Cité, laboratoire Jacques-Louis Lions, UMR 7598, UPMC, CNRS, F-75205 Paris, France
2 École des Ponts & Inria, 77455 Champs-sur Marne cedex, France
3 Collège de France, 11, place Marcelin-Berthelot, 75231 Paris cedex 05, France
4 CEREMADE, Université Paris-Dauphine, place du Maréchal-de-Lattre-de-Tassigny, 75775 Paris cedex 16, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 3, pp. 203-208.

Nous présentons une approche possible pour l'approximation, à la fois à l'échelle microscopique et à l'échelle macroscopique, de la solution d'une équation elliptique dont le coefficient oscillant est un perturbation « locale » d'une fonction ayant des propriétés géométriques simples, par exemple une fonction périodique. Cette approximation nécessite de savoir déterminer un profil local, solution d'une équation analogue de l'équation du correcteur en théorie de l'homogénéisation. Nous étudions ici, dans différents cadres fonctionnels, le caractère bien posé de cette équation. Des questions reliées sont aussi évoquées.

We present a possible approach to approximate at both the coarse and fine scales the solution to an elliptic equation with oscillatory coefficient when this coefficient consists of a “nice”, say periodic, function that is locally perturbed. The approach is based on a local profile, solution to an equation similar to the corrector equation in classical homogenization. The well-posedness of that equation is explored, in various functional settings depending upon the locality of the perturbation. Some related problems are discussed.

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DOI : 10.1016/j.crma.2015.01.003
Xavier Blanc 1 ; Claude Le Bris 2 ; Pierre-Louis Lions 3, 4

1 Univ. Paris Diderot, Sorbonne Paris Cité, laboratoire Jacques-Louis Lions, UMR 7598, UPMC, CNRS, F-75205 Paris, France
2 École des Ponts & Inria, 77455 Champs-sur Marne cedex, France
3 Collège de France, 11, place Marcelin-Berthelot, 75231 Paris cedex 05, France
4 CEREMADE, Université Paris-Dauphine, place du Maréchal-de-Lattre-de-Tassigny, 75775 Paris cedex 16, France 
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Xavier Blanc; Claude Le Bris; Pierre-Louis Lions. Profils locaux et problèmes elliptiques à plusieurs échelles avec défauts. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 3, pp. 203-208. doi : 10.1016/j.crma.2015.01.003. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2015.01.003/

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