Comptes Rendus
no. 6
Mathematical analysis/Partial differential equations
Uniqueness in a class of Hamilton–Jacobi equations with constraints
[Unicité pour une classe d'équations de Hamilton–Jacobi avec contraintes]

Présenté par : Haïm Brézis

Sepideh Mirrahimi1 ; Jean-Michel Roquejoffre1
1 Institut de mathématiques (UMR CNRS 5219), Université Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 6, pp. 489-494.

Dans cette note, on discute une classe d'équations de Hamilton–Jacobi dépendant du temps et une fonction inconnue du temps choisie pour que le maximum de la solution de l'équation de Hamilton–Jacobi prenne tout le temps la valeur 0. Le résultat principal de cette note est que le problème complet admet une unique solution classique. La motivation est un modèle de sélection–mutation qui, dans la limite d'une diffusivité nulle, présente une concentration sur la ligne de niveau 0 de la solution de l'équation de Hamilton–Jacobi. Le résultat d'unicité que nous démontrons implique une convergence forte, avec estimations d'erreur pour le modèle de sélection–mutation.

In this note, we discuss a class of time-dependent Hamilton–Jacobi equations depending on a function of time, this function being chosen in order to keep the maximum of the solution of the constant value 0. The main result of the note is that the full problem has a unique classical solution. The motivation is a selection–mutation model that, in the limit of small diffusion, exhibits concentration on the zero-level set of the solution to the Hamilton–Jacobi equation. The uniqueness result that we prove implies strong convergence and error estimates for the selection–mutation model.

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DOI : 10.1016/j.crma.2015.03.005
Sepideh Mirrahimi 1 ; Jean-Michel Roquejoffre 1

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Sepideh Mirrahimi; Jean-Michel Roquejoffre. Uniqueness in a class of Hamilton–Jacobi equations with constraints. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 6, pp. 489-494. doi : 10.1016/j.crma.2015.03.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2015.03.005/

[1] G. Barles; S. Mirrahimi; B. Perthame Concentration in Lotka–Volterra parabolic or integral equations: a general convergence result, Methods Appl. Anal., Volume 16 (2009) no. 3, pp. 321-340

[2] N. Champagnat; R. Ferrière; S. Méléard Individual-Based Probabilistic Models of Adaptive Evolution and Various Scaling Approximations, Progress in Probability, vol. 59, Birkhäuser, Basel, Switzerland, 2008

[3] N. Champagnat; P.-E. Jabin The evolutionary limit for models of populations interacting competitively via several resources, J. Differ. Equ., Volume 261 (2011), pp. 179-195

[4] O. Diekmann; P.-E. Jabin; S. Mischler; B. Perthame The dynamics of adaptation: an illuminating example and a Hamilton–Jacobi approach, Theor. Popul. Biol., Volume 67 (2005) no. 4, pp. 257-271

[5] A. Lorz; S. Mirrahimi; B. Perthame Dirac mass dynamics in a multidimensional nonlocal parabolic equation, Commun. Partial Differ. Equ., Volume 36 (2011), pp. 1071-1098

[6] S. Mirrahimi, J.-M. Roquejoffre, Uniqueness in a Hamilton–Jacobi equation with constraints, in preparation.

[7] S. Mirrahimi, J.-M. Roquejoffre, Approximation of solutions of selection–mutation models and error estimates, in preparation.

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[9] G. Raoul Étude qualitative et numérique d'équations aux dérivées partielles issues des sciences de la nature, ENS Cachan, France, 2009 (PhD thesis)

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