The scaling site

Alain Connes; Caterina Consani

doi:10.1016/j.crma.2015.09.027

Number theory/Algebraic geometry

The scaling site

Presented by: Alain Connes

Alain Connes ^1,^2,³; Caterina Consani ⁴

¹ Collège de France, 3 rue d'Ulm, 75005 Paris, France
² I.H.E.S., France
³ Ohio State University, USA
⁴ The Johns Hopkins University, Baltimore, MD 21218, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 354 (2016) no. 1, pp. 1-6.

Abstract
Résumé

We investigate the semi-ringed topos obtained from the arithmetic site $A$ of [3,4], by extension of scalars from the smallest Boolean semifield $B$ to the tropical semifield $R_{+}^{\max}$ . The obtained site $[0, \infty) ⋊ N^{\times}$ is the semi-direct product of the Euclidean half-line and the monoid $N^{\times}$ of positive integers acting by multiplication. Its points are the same as the points $A (R_{+}^{\max})$ of $A$ over $R_{+}^{\max}$ and form the quotient of the adele class space of $Q$ by the action of the maximal compact subgroup ${\hat{Z}}^{⁎}$ of the idèle class group. The structure sheaf of the scaling topos endows it with a natural structure of tropical curve over the topos $\hat{N^{\times}}$ . The restriction of this structure to the periodic orbits of the scaling flow gives, for each prime p, an analogue $C_{p}$ of an elliptic curve whose Jacobian is $Z / (p - 1) Z$ . The Riemann–Roch formula holds on $C_{p}$ and involves real-valued dimensions and real degrees for divisors.

Le site des fréquences $[0, \infty) ⋊ N^{\times}$ est obtenu à partir du site arithmétique $A$ de [3,4] par extension des scalaires du semicorps booléen $B$ au semicorps tropical $R_{+}^{\max}$ . C'est le produit semi-direct de la demi-droite euclidienne $[0, \infty)$ par l'action du semi-groupe $N^{\times}$ des entiers positifs par multiplication. Ses points sont les mêmes que ceux du site arithmétique définis sur $R_{+}^{\max}$ et forment le quotient de l'espace des classes d'adèles de $Q$ par l'action du sous-groupe compact maximal du groupe des classes d'idèles. Le faisceau structural du site des fréquences en fait une courbe tropicale dans le topos $\hat{N^{\times}}$ . La restriction de cette structure aux orbites périodiques donne, pour chaque nombre premier p, un analogue $C_{p}$ d'une courbe elliptique dont la jacobienne est $Z / (p - 1) Z$ . La formule de Riemann–Roch pour $C_{p}$ fait apparaître des dimensions à valeurs réelles et les degrés des diviseurs sont des nombres réels.

Received: 2015-09-24
Accepted: 2015-09-29
Published online: 2015-11-03

DOI: 10.1016/j.crma.2015.09.027

Keywords: Arithmetic site, Scaling site, Adele class space, Topos, Characteristic 1
Mots-clés : Site arithmétique, Site des fréquences, Classes d'adèles, Topos, Caractéristique 1

Author's affiliations:

Alain Connes ^{1, 2, 3}; Caterina Consani ⁴

¹ Collège de France, 3 rue d'Ulm, 75005 Paris, France
² I.H.E.S., France
³ Ohio State University, USA
⁴ The Johns Hopkins University, Baltimore, MD 21218, USA

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Alain Connes; Caterina Consani. The scaling site. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 354 (2016) no. 1, pp. 1-6. doi : 10.1016/j.crma.2015.09.027. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2015.09.027/

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