Analyse asymptotique de milieux élastiques stratifiés dans les espaces de fonctions à déformation bornée

Michel Bellieud; Shane Cooper

doi:10.1016/j.crma.2016.01.004

Problèmes mathématiques de la mécanique

Analyse asymptotique de milieux élastiques stratifiés dans les espaces de fonctions à déformation bornée

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Michel Bellieud ¹ ; Shane Cooper ²

¹ Université Montpellier-2, Case courier 048, place Eugène-Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5, France
² Department of Mathematical Sciences, University of Bath, Claverton Down, Bath, BA2 7AY, UK

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 354 (2016) no. 4, pp. 437-442.

Résumé
Abstract

Nous analysons le comportement asymptotique des solutions de problèmes du type

(P_{ε}) : {\begin{matrix} - div (σ_{ε} (u_{ε})) = f dans Ω = (0, L) \times Ω^{'}, \\ σ_{ε} (u_{ε}) = λ_{ε} (x_{1}) tr (e (u_{ε})) I + 2 μ_{ε} (x_{1}) e (u_{ε}), \\ e (u_{ε}) = \frac{1}{2} (\nabla u_{ε} + \nabla^{T} u_{ε}), \\ u_{ε} \in H_{0}^{1} (Ω; R^{3}), f \in L^{\infty} (Ω, R^{3}), \end{matrix}

(1)

lorsque les coefficients de Lamé dépendent uniquement de la variable

x_{1}

, sont bornés dans

L^{1} (Ω)

et que

\frac{1}{μ_{ε}}

est borné dans

L^{1} (Ω)

. Nous déterminons le problème limite sous les hypothèses :

\begin{matrix} μ_{ε} \overset{⋆}{⇀} m, \frac{1}{μ_{ε}} \overset{⋆}{⇀} ν faiblement* dans M ([0, L]), λ_{ε} = l μ_{ε} (l \geq 0), \\ m ({t}) ν ({t}) = 0 \forall t \in [0, L], m ({0}) = m ({L}) = ν ({0}) = ν ({L}) = 0 . \end{matrix}

(2)

Notre travail s'applique aussi à l'équation de la chaleur, étendant au cas anisotrope les résultats obtenus par G. Bouchitté et C. Picard (Appl. Anal. 61 (1996) 307–341).

We analyse the asymptotic behaviour of solutions to problems of the type (1) in the case where the Lamé coefficients only depend on the variable $x_{1}$ , are bounded in $L^{1} (0, L)$ , and $\frac{1}{μ_{ε}}$ is bounded in $L^{1} (0, L)$ . We determine the limit problem under the assumptions (2). Our method applies as well to the heat equation, extending to the general anisotropic setting the results of G. Bouchitté and C. Picard (Appl. Anal. 61 (1996) 307–341).

Reçu le : 2015-08-17
Accepté le : 2016-01-07
Publié le : 2016-02-11

DOI : 10.1016/j.crma.2016.01.004

Affiliations des auteurs :

Michel Bellieud ¹ ; Shane Cooper ²

¹ Université Montpellier-2, Case courier 048, place Eugène-Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5, France
² Department of Mathematical Sciences, University of Bath, Claverton Down, Bath, BA2 7AY, UK

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Michel Bellieud; Shane Cooper. Analyse asymptotique de milieux élastiques stratifiés dans les espaces de fonctions à déformation bornée. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 354 (2016) no. 4, pp. 437-442. doi : 10.1016/j.crma.2016.01.004. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2016.01.004/

Bibliographie
Cité par

[1] G. Bouchitté Représentation intégrale de fonctionnelles convexes sur un espace de mesures, Ann. Univ. Ferrara, Sez. 7 : Sci. Mat., Volume 33 (1987), pp. 113-156

[2] G. Bouchitté; C. Picard Singular perturbations and homogenization in stratified media, Appl. Anal., Volume 61 (1996), pp. 307-341

[3] L.C. Evans; R.F. Gariepy Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press, 1992

[4] J.E. Hutchinson Second fundamental form for varifolds and the existence of surfaces minimising curvature, Indiana Univ. Math. J., Volume 35 (1986) no. 1, pp. 45-71

[5] R. Temam Problèmes mathématiques en plasticité, Gauthier-Villars, Paris, 1983

[6] V.V. Zhikov On weighted Sobolev spaces, Mat. Sb., Volume 189 (1998) no. 8, pp. 27-58 (in Russian); translation in Sb. Math., 189, 7–8, 1998, pp. 1139-1170

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