Comptes Rendus
no. 1
Algebra
On the number of generators of an algebra
[Sur le nombre de générateurs d'une algèbre]

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Uriya A. First1 ; Zinovy Reichstein1
1 Department of Mathematics, University of British Columbia, Vancouver, Canada
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 1, pp. 5-9.

Un théorème classique de Forster affirme que tout module M de type fini et de rang ≤n sur un anneau noethérien de dimension de Krull d peut être engendré par n+d éléments. Nous prouvons une généralisation de ce résultat où le mot « module » est remplacé par « algèbre ». Les algèbres considérées ici sont de type fini, mais non nécessairement unitaires, commutatives ou même associatives. Le théorème de Forster peut être déduit du cas particulier où un module est vu comme une algèbre dont le produit de deux éléments quelconques est 0.

A classical theorem of Forster asserts that a finite module M of rank ≤n over a Noetherian ring of Krull dimension d can be generated by n+d elements. We prove a generalization of this result, with “module” replaced by “algebra”. Here we allow arbitrary finite algebras, not necessarily unital, commutative or associative. Forster's theorem can be recovered as a special case by viewing a module as an algebra where the product of any two elements is 0.

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DOI : 10.1016/j.crma.2016.11.015
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Uriya A. First; Zinovy Reichstein. On the number of generators of an algebra. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 1, pp. 5-9. doi : 10.1016/j.crma.2016.11.015. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2016.11.015/

[1] F. DeMeyer; E. Ingraham Separable Algebras Over Commutative Rings, Lect. Notes Math., vol. 181, Springer-Verlag, 1971 (MR0280479)

[2] D. Eisenbud; E.G. Evans Generating modules efficiently: theorems from algebraic K-theory, J. Algebra, Volume 27 (1973), pp. 278-305 (MR0327742)

[3] O. Forster Über die Anzahl der Erzeugenden eines Ideals in einem Noetherschen Ring, Math. Z., Volume 84 (1964), pp. 80-87 (MR0163932)

[4] P. Gille; T. Szamuely Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Camb. Stud. Adv. Math., Volume 101 (2006) (MR2266528)

[5] M.-A. Knus; A. Merkurjev; M. Rost; J.-P. Tignol The Book of Involutions, Colloq. Publ. – Amer. Math. Soc., vol. 44, 1998 (with a preface in French by J. Tits. MR1632779)

[6] S. Kumar Upadhyay; S.D. Kumar; R. Sridharan On the number of generators of a projective module, Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci., Volume 123 (2013) no. 4, pp. 469-478 (MR3146601)

[7] O. Loos; H.P. Petersson; M.L. Racine Inner derivations of alternative algebras over commutative rings, Algebra Number Theory, Volume 2 (2008) no. 8, pp. 927-968 (MR2457357)

[8] K. McCrimmon A Taste of Jordan Algebras, Universitext, Springer, New York, 2004 (MR2014924)

[9] H. Petersson Albert algebras http://www.fernuni-hagen.de/petersson/download/alb-alg-ottawa-2012.pdf

[10] Z. Reichstein On automorphisms of matrix invariants, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 340 (1993) no. 1, pp. 353-371 (MR1124173)

[11] R.D. Schafer An Introduction to Nonassociative Algebras, Dover, New York, 1995 (corrected reprint of the 1966 original. MR1375235)

[12] J.-P. Serre Galois Cohomology, Springer-Verlag, Berlin, 2002 (corrected reprint of the 1997 English edition. MR1867431)

[13] R.G. Swan The number of generators of a module, Math. Z., Volume 102 (1967), pp. 318-322 (MR0218347)

[14] R.B. Warfield The number of generators of a module over a fully bounded ring, J. Algebra, Volume 66 (1980) no. 2, pp. 425-447 (MR0593603)

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