Exhaustive families of representations of C⁎-algebras associated with N-body Hamiltonians with asymptotically homogeneous interactions

Jérémy Mougel; Nicolas Prudhon

doi:10.1016/j.crma.2019.01.010

Functional analysis

Exhaustive families of representations of C^⁎-algebras associated with N-body Hamiltonians with asymptotically homogeneous interactions
[Familles exhaustives de représentations des C^⁎-algèbres associées aux hamiltoniens du problème à N corps à potentiel asymptotiquement homogène]

Présenté par : the Editorial Board

Jérémy Mougel ¹ ; Nicolas Prudhon ¹

¹ Université de Lorraine, UFR MIM, 3, rue Augustin-Fresnel, 57045 Metz, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 357 (2019) no. 2, pp. 200-204.

Résumé
Abstract

Nous poursuivons l'étude des algèbres introduites par Georgescu, Nistor et leurs collaborateurs pour étudier les hamiltoniens du problème à N corps avec interactions. Plus précisément, soit $Y \subset X$ un sous-espace d'un espace euclidien X de dimension finie, et soit $v_{Y}$ une fonction continue sur $X / Y$ possédant des limites radiales à l'infini. Nous considérons ici des hamiltoniens de la forme $H = - Δ + \sum_{Y \in S} v_{Y}$ , où $S$ est une famille donnée de sous-espaces de X. Georgescu et Nistor ont étudié en détail le cas où la famille $S$ contient tous les sous-espaces de X ; Nistor et ses co-auteurs ont étudié le cas d'une famille finie stable par intersections, et Georgescu a généralisé certains de ces résultats à des familles quelconques. Dans cette note, nous développons de nouvelles techniques pour étendre les résultats spectraux précédents à des familles quelconques également et pour des opérateurs pseudo-différentiels (ou affiliés) associés à l'action de X par translation, introduits par Connes. En outre, nous obtenons, pour les opérateurs elliptiques, une caractérisation comme étant des opérateurs de Fredholm. Nous faisons remarquer également que ces algèbres répondent à une question de Melrose et Singer.

We continue the analysis of algebras introduced by Georgescu, Nistor, and their coauthors, in order to study N-body type Hamiltonians with interactions. More precisely, let $Y \subset X$ be a linear subspace of a finite-dimensional Euclidean space X, and $v_{Y}$ be a continuous function on $X / Y$ that has uniform homogeneous radial limits at infinity. We consider, in this paper, Hamiltonians of the form $H = - Δ + \sum_{Y \in S} v_{Y}$ , where the subspaces $Y \subset X$ belong to some given family $S$ of subspaces. Georgescu and Nistor have considered the case when $S$ consists of all subspaces $Y \subset X$ , and Nistor and coauthors considered the case when $S$ is a finite semilattice and Georgescu generalized these results to any family. In this paper, we develop new techniques to prove their results on the spectral theory of the Hamiltonian to the case where $S$ is any family of subspaces also, and extend those results to other operators affiliated to a larger algebra of pseudodifferential operators associated with the action of X introduced by Connes. In addition, we exhibit Fredholm conditions for such elliptic operators. We also note that the algebras we consider answer a question of Melrose and Singer.

Reçu le : 2018-11-26
Accepté le : 2019-02-04
Publié le : 2019-02-01

DOI : 10.1016/j.crma.2019.01.010

Affiliations des auteurs :

Jérémy Mougel ¹ ; Nicolas Prudhon ¹

¹ Université de Lorraine, UFR MIM, 3, rue Augustin-Fresnel, 57045 Metz, France

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Jérémy Mougel; Nicolas Prudhon. Exhaustive families of representations of C^⁎-algebras associated with N-body Hamiltonians with asymptotically homogeneous interactions. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 357 (2019) no. 2, pp. 200-204. doi : 10.1016/j.crma.2019.01.010. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2019.01.010/

Bibliographie
Cité par

[1] S. Baaj Calcul pseudo-différentiel et produits croisés de $C^{⁎}$ -algèbres. I, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 307 (1988) no. 11, pp. 581-586

[2] A. Connes $C^{⁎}$ algèbres et géométrie différentielle, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. A–B, Volume 290 (1980) no. 13, p. A599-A604

[3] V. Georgescu On the structure of the essential spectrum of elliptic operators on metric spaces, J. Funct. Anal., Volume 260 (2011) no. 6, pp. 1734-1765

[4] V. Georgescu On the essential spectrum of elliptic differential operators, J. Math. Anal. Appl., Volume 468 (2018) no. 2, pp. 839-864

[5] V. Georgescu; A. Iftimovici $C^{⁎}$ -algebras of quantum Hamiltonians, Constanţa, 2001, Theta, Bucharest (2003), pp. 123-167

[6] V. Georgescu; A. Iftimovici Localizations at infinity and essential spectrum of quantum Hamiltonians. I. General theory, Rev. Math. Phys., Volume 18 (2006) no. 4, pp. 417-483

[7] V. Georgescu; V. Nistor On the essential spectrum of N-body Hamiltonians with asymptotically homogeneous interactions, J. Oper. Theory, Volume 77 (2017) no. 2, pp. 333-376

[8] C. Kottke Functorial compactification of linear spaces, 2017 | arXiv

[9] R. Melrose; M. Singer Scattering configuration spaces, 2008 | arXiv

[10] J. Mougel; V. Nistor; N. Prudhon A refined HVZ-theorem for asymptotically homogeneous interactions and finitely many collision planes, Rev. Roum. Math. Pures Appl., Volume 62 (2017) no. 1, pp. 287-308

[11] M. Măntoiu $C^{⁎}$ -algebras, dynamical systems at infinity and the essential spectrum of generalized Schrödinger operators, J. Reine Angew. Math., Volume 550 (2002), pp. 211-229

[12] M. Mǎntoiu Essential spectrum and Fredholm properties for operators on locally compact groups, J. Oper. Theory, Volume 77 (2017) no. 2, pp. 481-501

[13] V. Nistor; N. Prudhon Exhaustive families of representations and spectra of pseudodifferential operators, J. Oper. Theory, Volume 78 (2017) no. 2, pp. 247-279

[14] M. Reed; B. Simon Methods of Modern Mathematical Physics. IV. Analysis of Operators, Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], New York, 1978

[15] S. Roch Algebras of approximation sequences: structure of fractal algebras, Singular Integral Operators, Factorization and Applications, Operator Theory: Advances and Applications, vol. 142, Birkhäuser, Basel, 2003, pp. 287-310

[16] A. Vasy Propagation of singularities in many-body scattering, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), Volume 34 (2001) no. 3, pp. 313-402

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