Comptes Rendus
Théorie des nœuds
On the modular Jones polynomial
[Sur le polynôme de Jones modulaire]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 358 (2020) no. 8, pp. 901-908.

Un problème majeur en théorie des nœuds est de décider si le polynôme de Jones détecte le nœud trivial. Dans cet article nous étudions une question similaire plus faible, c’est-à-dire si le polynôme de Jones réduit modulo un entier m détecte le nœud trivial. On sait que la réponse est négative pour m=2 r et m=3. On montre ici que si cette affirmation est fausse pour un entier m, alors elle l’est aussi pour m r avec r1. En particulier, on construit des nœuds non-triviaux avec un polynôme de Jones trivial modulo 3 r .

A major problem in knot theory is to decide whether the Jones polynomial detects the unknot. In this paper we study a weaker related problem, namely whether the Jones polynomial reduced modulo an integer m detects the unknot. The answer is known to be negative for m=2 r with r1 and m=3. Here we show that if the answer is negative for some m, then it is negative for m r with any r1. In particular, for any r1, we construct nontrivial knots whose Jones polynomial is trivial modulo 3 r .

Reçu le :
Révisé le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.5802/crmath.106
Classification : 00X99
Keywords: Knot, Jones polynomial, Kauffman bracket, $m$-trivial knot, connected sum, Legendre formula, modular arithmetic
Mot clés : Nœud, Polynôme de Jones, crochet de Kauffman, nœud $m$-trivial, somme connexe, formule de Legendre, Arithmétique modulaire

Guillaume Pagel 1

1 Univ. Littoral Côte d’Opale, UR 2597, LMPA, Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville, F-62100 Calais, France
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits
@article{CRMATH_2020__358_8_901_0,
     author = {Guillaume Pagel},
     title = {On the modular {Jones} polynomial},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {901--908},
     publisher = {Acad\'emie des sciences, Paris},
     volume = {358},
     number = {8},
     year = {2020},
     doi = {10.5802/crmath.106},
     language = {en},
}
TY  - JOUR
AU  - Guillaume Pagel
TI  - On the modular Jones polynomial
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2020
SP  - 901
EP  - 908
VL  - 358
IS  - 8
PB  - Académie des sciences, Paris
DO  - 10.5802/crmath.106
LA  - en
ID  - CRMATH_2020__358_8_901_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Guillaume Pagel
%T On the modular Jones polynomial
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2020
%P 901-908
%V 358
%N 8
%I Académie des sciences, Paris
%R 10.5802/crmath.106
%G en
%F CRMATH_2020__358_8_901_0
Guillaume Pagel. On the modular Jones polynomial. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 358 (2020) no. 8, pp. 901-908. doi : 10.5802/crmath.106. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.106/

[1] George Boros; Victor Moll Irresistible integrals: symbolics, analysis and experiments in the evaluation of integrals, Cambridge University Press, 2004 | Zbl

[2] Jae Choon Cha; Charles Livingston Knotinfo: Table of knot invariants, 2011 https://knotinfo.math.indiana.edu/

[3] Shalom Eliahou; Jean Fromentin A remarkable 20-crossing tangle, J. Knot Theory Ramifications, Volume 26 (2017) no. 14, p. 1750091 | DOI | MR | Zbl

[4] Shalom Eliahou; Louis H. Kauffman; Morwen Thistlethwaite Infinite families of links with trivial Jones polynomial, Topology, Volume 42 (2003) no. 1, pp. 155-169 | DOI | MR | Zbl

[5] Vaughan F. R. Jones A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras, Bull. Am. Math. Soc., Volume 12 (1985) no. 1, pp. 103-112 | DOI | MR | Zbl

[6] Louis H. Kauffman State models and the Jones polynomial, New developments in the theory of knots (Advanced Series in Mathematical Physics), Volume 11, World Scientific, 1990, pp. 162-174 | DOI

[7] Adrien-Marie Legendre Essai sur la théorie des nombres, Courcier, 1808 | Zbl

[8] Hugh R. Morton; Paweł Traczyk The Jones polynomial of satellite links around mutants, New developments in the theory of knots (Advanced Series in Mathematical Physics), Volume 11, World Scientific, 1990, pp. 625-630 | DOI | Zbl

Cité par Sources :

Commentaires - Politique