The number of unimodular roots of some reciprocal polynomials

Dragan Stankov

doi:10.5802/crmath.28

Theorie des nombres

The number of unimodular roots of some reciprocal polynomials
[Sur le nombre de racines de module un de certains polynômes réciproques]

Dragan Stankov ¹

¹ Katedra Matematike RGF-a, University of Belgrade, Belgrade, Đušina 7, Serbia

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 358 (2020) no. 2, pp. 159-168.

Résumé
Abstract

Nous introduisons une suite $P_{2 n}$ de polynômes unitaires réciproques avec des coefficients entiers ayant les coefficients centraux fixes. Nous prouvons que le rapport entre le nombre de racines non unimodulaires de $P_{2 n}$ et son degré $d$ a une limite lorsque $d$ tend vers l’infini. Nous présentons un algorithme de calcul de la limite et une méthode numérique pour son approximation. Si $P_{2 n}$ est la somme d’un nombre fixe de monômes, nous déterminons les coefficients centraux de sorte que le rapport ait la limite minimale. Nous généralisons la limite du rapport pour les polynômes de plusieurs variables. Certains exemples suggèrent une conjecture pour les polynômes à deux variables qui est analogue à la formule limite de Boyd pour la mesure de Mahler.

We introduce a sequence $P_{2 n}$ of monic reciprocal polynomials with integer coefficients having the central coefficients fixed. We prove that the ratio between number of nonunimodular roots of $P_{2 n}$ and its degree $d$ has a limit when $d$ tends to infinity. We present an algorithm for calculation the limit and a numerical method for its approximation. If $P_{2 n}$ is the sum of a fixed number of monomials we determine the central coefficients such that the ratio has the minimal limit. We generalise the limit of the ratio for multivariate polynomials. Some examples suggest a theorem for polynomials in two variables which is analogous to Boyd’s limit formula for Mahler measure.

Reçu le : 2019-12-05
Accepté le : 2020-02-26
Publié le : 2020-06-15

DOI : 10.5802/crmath.28

Affiliations des auteurs :

Dragan Stankov ¹

¹ Katedra Matematike RGF-a, University of Belgrade, Belgrade, Đušina 7, Serbia

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Dragan Stankov. The number of unimodular roots of some reciprocal polynomials. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 358 (2020) no. 2, pp. 159-168. doi : 10.5802/crmath.28. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.28/

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