Skew-Forms and Galois Theory

Ashish Gupta; Sugata Mandal

doi:10.5802/crmath.645

Article de recherche - Algèbre

Skew-Forms and Galois Theory
[Formes asymétriques et théorie de Galois]

Ashish Gupta ¹ ; Sugata Mandal ¹

¹ School of Mathematical Sciences, Ramakrishna Mission Vivekananda Educational and Research Institute, Belur Math, Howrah, West Bengal, Box: 711202, India.

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1337-1347.

Résumé
Abstract

Soit $L / K$ une extension cyclique de degré $n = 2 m$ . On sait que l’espace ${Alt}_{K} (L)$ des formes bilinéaires $K$ -formes bilinéaires alternées (skew-forms) sur $L$ se décompose en une somme directe de $K$ -sous-espaces $A^{σ^{i}}$ indexés par les éléments de $Gal (L / K) = 〈 σ 〉$ . Il est également connu que les composants $A^{σ^{i}}$ peuvent avoir de belles propriétés de rang constant. Nous améliorons et enrichissons ces résultats de rang constant et montrons que la composante $A^{σ}$ se décompose souvent directement en une somme de sous-espaces de rang constant, c’est-à-dire des sous-espaces dont toutes les formes asymétriques non nulles ont un rang fixe $r$ . En particulier, ceci est toujours vrai lorsque $- \notin L^{2}$ . En conséquence, nous déduisons une décomposition de ${Alt}_{K} (L)$ en sous-espaces de rang constant dans plusieurs situations intéressantes. Nous établissons également qu’un sous-espace de dimension $\frac{n}{2}$ dont toutes les formes asymétriques non nulles sont non dégénérées peut toujours être trouvé dans $A^{σ^{i}}$ où $σ^{i}$ a un ordre divisible par $2$ .

Let $L / K$ be a cyclic extension of degree $n = 2 m$ . It is known that the space ${Alt}_{K} (L)$ of alternating $K$ -bilinear forms (skew-forms) on $L$ decomposes into a direct sum of $K$ -subspaces $A^{σ^{i}}$ indexed by the elements of $Gal (L / K) = 〈 σ 〉$ . It is also known that the components $A^{σ^{i}}$ can have nice constant-rank properties. We enhance and enrich these constant-rank results and show that the component $A^{σ}$ often decomposes directly into a sum of constant rank subspaces, that is, subspaces all of whose non-zero skew-forms have a fixed rank $r$ . In particular, this is always true when $- 1 \notin L^{2}$ . As a result we deduce a decomposition of ${Alt}_{K} (L)$ into subspaces of constant rank in several interesting situations. We also establish that a subspace of dimension $\frac{n}{2}$ all of whose nonzero skew-forms are non-degenerate can always be found in $A^{σ^{i}}$ where $σ^{i}$ has order divisible by $2$ .

Reçu le : 2023-10-05
Révisé le : 2024-04-22
Accepté le : 2024-04-22
Publié le : 2024-11-14

DOI : 10.5802/crmath.645

Classification : 12F05, 12F10, 15A63
Keywords: Alternating form, skew-symmetric form, constant rank space, Galois extension
Mot clés : Forme alternée, forme antisymétrique, espace de rang constant, extension de Galois

Affiliations des auteurs :

Ashish Gupta ¹ ; Sugata Mandal ¹

¹ School of Mathematical Sciences, Ramakrishna Mission Vivekananda Educational and Research Institute, Belur Math, Howrah, West Bengal, Box: 711202, India.

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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