Skew-Forms and Galois Theory

Ashish Gupta; Sugata Mandal

doi:10.5802/crmath.645

Article de recherche - Algèbre

Skew-Forms and Galois Theory
[Formes asymétriques et théorie de Galois]

Ashish Gupta ¹ ; Sugata Mandal ¹

¹ School of Mathematical Sciences, Ramakrishna Mission Vivekananda Educational and Research Institute, Belur Math, Howrah, West Bengal, Box: 711202, India.

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1337-1347.

Résumé
Abstract

Soit $L / K$ une extension cyclique de degré $n = 2 m$ . On sait que l’espace ${Alt}_{K} (L)$ des formes bilinéaires $K$ -formes bilinéaires alternées (skew-forms) sur $L$ se décompose en une somme directe de $K$ -sous-espaces $A^{σ^{i}}$ indexés par les éléments de $Gal (L / K) = 〈 σ 〉$ . Il est également connu que les composants $A^{σ^{i}}$ peuvent avoir de belles propriétés de rang constant. Nous améliorons et enrichissons ces résultats de rang constant et montrons que la composante $A^{σ}$ se décompose souvent directement en une somme de sous-espaces de rang constant, c’est-à-dire des sous-espaces dont toutes les formes asymétriques non nulles ont un rang fixe $r$ . En particulier, ceci est toujours vrai lorsque $- \notin L^{2}$ . En conséquence, nous déduisons une décomposition de ${Alt}_{K} (L)$ en sous-espaces de rang constant dans plusieurs situations intéressantes. Nous établissons également qu’un sous-espace de dimension $\frac{n}{2}$ dont toutes les formes asymétriques non nulles sont non dégénérées peut toujours être trouvé dans $A^{σ^{i}}$ où $σ^{i}$ a un ordre divisible par $2$ .

Let $L / K$ be a cyclic extension of degree $n = 2 m$ . It is known that the space ${Alt}_{K} (L)$ of alternating $K$ -bilinear forms (skew-forms) on $L$ decomposes into a direct sum of $K$ -subspaces $A^{σ^{i}}$ indexed by the elements of $Gal (L / K) = 〈 σ 〉$ . It is also known that the components $A^{σ^{i}}$ can have nice constant-rank properties. We enhance and enrich these constant-rank results and show that the component $A^{σ}$ often decomposes directly into a sum of constant rank subspaces, that is, subspaces all of whose non-zero skew-forms have a fixed rank $r$ . In particular, this is always true when $- 1 \notin L^{2}$ . As a result we deduce a decomposition of ${Alt}_{K} (L)$ into subspaces of constant rank in several interesting situations. We also establish that a subspace of dimension $\frac{n}{2}$ all of whose nonzero skew-forms are non-degenerate can always be found in $A^{σ^{i}}$ where $σ^{i}$ has order divisible by $2$ .

Reçu le : 2023-10-05
Révisé le : 2024-04-22
Accepté le : 2024-04-22
Publié le : 2024-11-14

Zbl

DOI : 10.5802/crmath.645

Classification : 12F05, 12F10, 15A63
Keywords: Alternating form, skew-symmetric form, constant rank space, Galois extension
Mots-clés : Forme alternée, forme antisymétrique, espace de rang constant, extension de Galois

Affiliations des auteurs :

Ashish Gupta ¹ ; Sugata Mandal ¹

¹ School of Mathematical Sciences, Ramakrishna Mission Vivekananda Educational and Research Institute, Belur Math, Howrah, West Bengal, Box: 711202, India.

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

@article{CRMATH_2024__362_G11_1337_0,
     author = {Ashish Gupta and Sugata Mandal},
     title = {Skew-Forms and {Galois} {Theory}},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {1337--1347},
     publisher = {Acad\'emie des sciences, Paris},
     volume = {362},
     year = {2024},
     doi = {10.5802/crmath.645},
     zbl = {07945477},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Ashish Gupta
AU  - Sugata Mandal
TI  - Skew-Forms and Galois Theory
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2024
SP  - 1337
EP  - 1347
VL  - 362
PB  - Académie des sciences, Paris
DO  - 10.5802/crmath.645
LA  - en
ID  - CRMATH_2024__362_G11_1337_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Ashish Gupta
%A Sugata Mandal
%T Skew-Forms and Galois Theory
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2024
%P 1337-1347
%V 362
%I Académie des sciences, Paris
%R 10.5802/crmath.645
%G en
%F CRMATH_2024__362_G11_1337_0

Ashish Gupta; Sugata Mandal. Skew-Forms and Galois Theory. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1337-1347. doi : 10.5802/crmath.645. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.645/

Bibliographie
Cité par

[1] Joe Buhler; Ranee Gupta; Joe Harris Isotropic subspaces for skewforms and maximal abelian subgroups of $p$ -groups, J. Algebra, Volume 108 (1987) no. 1, pp. 269-279 | DOI | MR | Zbl

[2] P. Delsarte Bilinear forms over a finite field, with applications to coding theory, J. Comb. Theory, Ser. A, Volume 25 (1978) no. 3, pp. 226-241 | DOI | MR | Zbl

[3] P. Delsarte; J.-M. Goethals Alternating bilinear forms over $G F (q)$ , J. Comb. Theory, Ser. A, Volume 19 (1975), pp. 26-50 | DOI | MR | Zbl

[4] Fernando Q. Gouvêa $p$ -adic numbers. An introduction, Universitext, Springer, 1993, vi+282 pages | DOI | MR | Zbl

[5] Rod Gow; Rachel Quinlan On the vanishing of subspaces of alternating bilinear forms, Linear Multilinear Algebra, Volume 54 (2006) no. 6, pp. 415-428 | DOI | MR | Zbl

[6] Rod Gow; Rachel Quinlan Galois extensions and subspaces of alternating bilinear forms with special rank properties, Linear Algebra Appl., Volume 430 (2009) no. 8-9, pp. 2212-2224 | DOI | MR | Zbl

[7] Emil Grosswald Representations of integers as sums of squares, Springer, 1985, xi+251 pages | DOI | MR | Zbl

[8] Serge Lang Algebra., Addison-Wesley Publishing Group, 1993 | MR | Zbl

[9] André Weil Basic number theory, Classics in Mathematics, Springer, 1995, xviii+315 pages | MR | Zbl

Cité par Sources :

Commentaires - Politique

Il n'y a aucun commentaire pour cet article. Soyez le premier à écrire un commentaire !

Publier un nouveau commentaire:

Publier une nouvelle réponse: