Compensated integrability on tori; <i>a priori</i> estimate for space-periodic gas flows

Denis Serre

doi:10.5802/crmath.654

Article de recherche - Équations aux dérivées partielles

Compensated integrability on tori; a priori estimate for space-periodic gas flows
[Intégrabilité par compensation sur un tore ; Estimation a priori pour les écoulements gazeux périodiques en espace]

Denis Serre ¹

¹ École Normale Supérieure de Lyon, U.M.P.A., UMR CNRS–ENSL # 5669. 46 allée d’Italie, 69364 Lyon cedex 07. France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1425-1444.

Résumé
Abstract

Nous étendons notre théorie d’Intégrabilité par Compensation au cas des domaines $ℝ^{k} \times (ℝ^{m} / Λ)$ , produits d’un facteur linéaire et d’un tore plat. Nous appliquons les résultats abstraits à deux contextes, pour lesquels $k = 1$ est associé à une variable de temps, tandis que $m = d$ est la dimension de l’espace physique ambiant. Le premier est la dynamique des gaz non visqueux, gouvernée par les équations d’Euler, lorsque les données initiales sont périodiques en espace. Nous obtenons une estimation a priori de notre quantité favorite $ρ^{\frac{1}{d}} p$ . Le second est la dynamique des sphères dures, dans une boîte périodique $L 𝕋_{d}$ . Nous obtenons une estimation pondérée du nombre moyen de collisions par unité de temps, pourvu que la « densité linéique » $N a / L$ ( $N$ particules de rayon $a$ ) soit inférieure à un certain seuil.

We extend our theory of Compensated Integrability of positive symmetric tensors, to the case where the domain is the product of a linear space $ℝ^{k}$ and of a torus $ℝ^{m} / Λ$ , $Λ$ being a lattice of $ℝ^{m}$ . We apply our abstract results in two contexts, for which $k = 1$ is associated with a time variable, while $m = d$ is a space dimension. On the one hand to $d$ -dimensional inviscid gas dynamics, governed by the Euler equations, when the initial data is space-periodic; we obtain an a priori space-time estimate of our beloved quantity $ρ^{\frac{1}{d}} p$ . On the other hand to hard spheres dynamics in a periodic box $L 𝕋_{d}$ . We obtain a weighted estimate of the average number of collisions per unit time, provided that the “linear density” $N a / L$ ( $N$ particles of radius $a$ ) is smaller than some threshold.

Reçu le : 2024-05-08
Accepté le : 2024-06-01
Publié le : 2024-11-14

DOI : 10.5802/crmath.654

Classification : 35B09, 35B45, 76N15, 37C83
Keywords: Compensated integrability, perfect gas, billiard, periodic data
Mot clés : Intégrabilité par compensation, gaz parfait, billard, données périodiques

Affiliations des auteurs :

Denis Serre ¹

¹ École Normale Supérieure de Lyon, U.M.P.A., UMR CNRS–ENSL # 5669. 46 allée d’Italie, 69364 Lyon cedex 07. France

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Denis Serre. Compensated integrability on tori; a priori estimate for space-periodic gas flows. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1425-1444. doi : 10.5802/crmath.654. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.654/

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