Burau representation of $B_4$ and quantization of the rational projective plane

Perrine Jouteur

doi:10.5802/crmath.702

Article de recherche - Géométrie et Topologie, Théorie des groupes

Burau representation of

B_{4}

and quantization of the rational projective plane
[Représentation de Burau de

B_{4}

et quantification du plan projectif rationnel]

Perrine Jouteur ¹

¹ Laboratoire de Mathématiques de Reims, UMR 9008 CNRS et Université de Reims Champagne-Ardenne, U.F.R. Sciences Exactes et Naturelles, Moulin de la Housse, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 89-107.

Résumé
Abstract

Le groupe de tresses $B_{4}$ agit naturellement sur le plan projectif rationnel $ℙ^{2} (ℚ)$ . Cette action est donnée par la classique représentation de Burau entière de $B_{4}$ . Le premier résultat de cet article consiste en une classification des orbites de cette action. La représentation de Burau permet ensuite de définir une action de $B_{4}$ sur $ℙ^{2} (ℤ (q))$ , où $q$ est un paramètre formel et $ℤ (q)$ le corps des fractions rationnelles en $q$ , à coefficients entiers. On étudie les orbites de cette action de $B_{4}$ sur $ℙ^{2} (ℤ (q))$ , et on montre l’existence d’un plongement de la $q$ -déformation de la droite projective rationnelle $ℙ^{1} (ℤ (q))$ qui coïncide précisément avec la notion de $q$ -rationnels due à Morier-Genoud et Ovsienko.

The braid group $B_{4}$ naturally acts on the rational projective plane $ℙ^{2} (ℚ)$ , this action corresponds to the classical integral reduced Burau representation of $B_{4}$ . The first result of this paper is a classification of the orbits of this action. The Burau representation then defines an action of $B_{4}$ on $ℙ^{2} (ℤ (q))$ , where $q$ is a formal parameter and $ℤ (q)$ is the field of rational functions in $q$ with integer coefficients. We study orbits of the $B_{4}$ -action on $ℙ^{2} (ℤ (q))$ , and show existence of embeddings of the $q$ -deformed projective line $ℙ^{1} (ℤ (q))$ that precisely correspond to the notion of $q$ -rationals due to Morier-Genoud and Ovsienko.

Reçu le : 2024-07-25
Accepté le : 2024-11-11
Accepté après révision le : 2024-11-18
Publié le : 2025-03-06

DOI : 10.5802/crmath.702

Classification : 20F36, 20C12, 05A30
Keywords: Quantization, Burau representation, $q$-rational numbers, braid group, rational projective plane
Mots-clés : Quantification, représentation de Burau, $q$-rationnels, groupe de tresses, plan projectif rationnel

Affiliations des auteurs :

Perrine Jouteur ¹

¹ Laboratoire de Mathématiques de Reims, UMR 9008 CNRS et Université de Reims Champagne-Ardenne, U.F.R. Sciences Exactes et Naturelles, Moulin de la Housse, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

@article{CRMATH_2025__363_G1_89_0,
     author = {Perrine Jouteur},
     title = {Burau representation of $B_4$ and quantization of the rational projective plane},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {89--107},
     publisher = {Acad\'emie des sciences, Paris},
     volume = {363},
     year = {2025},
     doi = {10.5802/crmath.702},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Perrine Jouteur
TI  - Burau representation of $B_4$ and quantization of the rational projective plane
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2025
SP  - 89
EP  - 107
VL  - 363
PB  - Académie des sciences, Paris
DO  - 10.5802/crmath.702
LA  - en
ID  - CRMATH_2025__363_G1_89_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Perrine Jouteur
%T Burau representation of $B_4$ and quantization of the rational projective plane
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2025
%P 89-107
%V 363
%I Académie des sciences, Paris
%R 10.5802/crmath.702
%G en
%F CRMATH_2025__363_G1_89_0

Perrine Jouteur. Burau representation of $B_4$ and quantization of the rational projective plane. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 89-107. doi : 10.5802/crmath.702. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.702/

Bibliographie
Cité par

[1] Asilata Bapat; Louis Becker; Anthony M. Licata $q$ -deformed rational numbers and the $2$ -Calabi–Yau category of type $A_{2}$ , Forum Math. Sigma, Volume 11 (2023), e47, 41 pages | DOI | MR | Zbl

[2] Joan S. Birman Braids, links, and mapping class groups, Annals of Mathematics Studies, 82, Princeton University Press, 1974, ix+228 pages | MR

[3] Tara Brendle; Dan Margalit; Andrew Putman Generators for the hyperelliptic Torelli group and the kernel of the Burau representation at $t = - 1$ , Invent. Math., Volume 200 (2015) no. 1, pp. 263-310 | DOI | MR | Zbl

[4] Werner Burau Über Zopfgruppen und gleichsinnig verdrillte Verkettungen, Abh. Math. Semin. Univ. Hamb., Volume 11 (1935), pp. 179-186 | DOI | MR | Zbl

[5] Ethan Dlugie The Burau representation and shapes of polyhedra, Algebr. Geom. Topol., Volume 24 (2024) no. 5, pp. 2787-2805 | DOI | MR | Zbl

[6] Louis Funar; Toshitake Kohno On Burau’s representations at roots of unity, Geom. Dedicata, Volume 169 (2009), pp. 145-163 | DOI | MR | Zbl

[7] Oleg Karpenkov On Hermite’s problem, Jacobi–Perron type algorithms, and Dirichlet groups, Acta Arith., Volume 203 (2022) no. 1, pp. 27-48 | DOI | MR | Zbl

[8] Christian Kassel; Vladimir Turaev Braid groups, Graduate Texts in Mathematics, 247, Springer, 2008, xii+340 pages | DOI | MR

[9] Peter Lynch; Michael Mackey Parity and partition of the rational numbers, Coll. Math. J., Volume 55 (2024) no. 5, pp. 387-399 | DOI | MR | Zbl

[10] Sophie Morier-Genoud; Valentin Ovsienko On $q$ -Deformed Real Numbers, Exp. Math., Volume 31 (2019), pp. 652-660 | DOI | MR | Zbl

[11] Sophie Morier-Genoud; Valentin Ovsienko $q$ -deformed rationals and $q$ -continued fractions, Forum Math. Sigma, Volume 8 (2020), e13, 55 pages | DOI | MR | Zbl

[12] Sophie Morier-Genoud; Valentin Ovsienko; Alexander P. Veselov Burau representation of braid groups and $q$ -rationals, Int. Math. Res. Not., Volume 2024 (2024) no. 10, pp. 8618-8627 | DOI | MR | Zbl

[13] Ezgi Kantarcı Oğuz; Mohan Ravichandran Rank Polynomials of Fence Posets are Unimodal, Discrete Math., Volume 346 (2023) no. 2, 113218, 20 pages | DOI | MR | Zbl

[14] Valentin Ovsienko Towards quantized complex numbers: $q$ -deformed Gaussian integers and the Picard group, Open Commun. Nonlinear Math. Phys., Volume 1 (2021), pp. 73-93 | DOI | Zbl

[15] Hanka Řada; Štěpán Starosta; Vítězslav Kala Periodicity of general multidimensional continued fractions using repetend matrix form, Expo. Math., Volume 42 (2024) no. 3, 125571, 37 pages | DOI | MR | Zbl

[16] Adam S. Sikora Tangle equations, the Jones conjecture, slopes of surfaces in tangle complements, and $q$ -deformed rationals, Can. J. Math., Volume 76 (2024) no. 2, pp. 707-727 | DOI | MR | Zbl

[17] Neville Francis Smythe The Burau representation of the braid group is pairwise free, Arch. Math., Volume 32 (1979), pp. 309-317 | DOI | Zbl

[18] Craig C. Squier The Burau representation is unitary, Proc. Am. Math. Soc., Volume 90 (1984) no. 2, pp. 199-202 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :

Commentaires - Politique