Burau representation of $B_4$ and quantization of the rational projective plane

Perrine Jouteur

doi:10.5802/crmath.702

Article de recherche - Géométrie et Topologie, Théorie des groupes

Burau representation of

B_{4}

and quantization of the rational projective plane
[Représentation de Burau de

B_{4}

et quantification du plan projectif rationnel]

Perrine Jouteur ¹

¹ Laboratoire de Mathématiques de Reims, UMR 9008 CNRS et Université de Reims Champagne-Ardenne, U.F.R. Sciences Exactes et Naturelles, Moulin de la Housse, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 89-107.

Abstract (VO)
Résumé

The braid group $B_{4}$ naturally acts on the rational projective plane $P^{2} (Q)$ , this action corresponds to the classical integral reduced Burau representation of $B_{4}$ . The first result of this paper is a classification of the orbits of this action. The Burau representation then defines an action of $B_{4}$ on $P^{2} (Z (q))$ , where $q$ is a formal parameter and $Z (q)$ is the field of rational functions in $q$ with integer coefficients. We study orbits of the $B_{4}$ -action on $P^{2} (Z (q))$ , and show existence of embeddings of the $q$ -deformed projective line $P^{1} (Z (q))$ that precisely correspond to the notion of $q$ -rationals due to Morier-Genoud and Ovsienko.

Le groupe de tresses $B_{4}$ agit naturellement sur le plan projectif rationnel $P^{2} (Q)$ . Cette action est donnée par la classique représentation de Burau entière de $B_{4}$ . Le premier résultat de cet article consiste en une classification des orbites de cette action. La représentation de Burau permet ensuite de définir une action de $B_{4}$ sur $P^{2} (Z (q))$ , où $q$ est un paramètre formel et $Z (q)$ le corps des fractions rationnelles en $q$ , à coefficients entiers. On étudie les orbites de cette action de $B_{4}$ sur $P^{2} (Z (q))$ , et on montre l’existence d’un plongement de la $q$ -déformation de la droite projective rationnelle $P^{1} (Z (q))$ qui coïncide précisément avec la notion de $q$ -rationnels due à Morier-Genoud et Ovsienko.

Reçu le : 2024-07-25
Accepté le : 2024-11-11
Accepté après révision le : 2024-11-18
Publié le : 2025-03-06

DOI : 10.5802/crmath.702

Classification : 20F36, 20C12, 05A30
Keywords: Quantization, Burau representation,

q

-rational numbers, braid group, rational projective plane
Mots-clés : Quantification, représentation de Burau,

q

-rationnels, groupe de tresses, plan projectif rationnel

Affiliations des auteurs :

Perrine Jouteur ¹

¹ Laboratoire de Mathématiques de Reims, UMR 9008 CNRS et Université de Reims Champagne-Ardenne, U.F.R. Sciences Exactes et Naturelles, Moulin de la Housse, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Perrine Jouteur. Burau representation of $B_4$ and quantization of the rational projective plane. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 89-107. doi : 10.5802/crmath.702. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.702/

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