[Isogénie et surconvergence]
In this paper, we apply Tsuzuki’s main theorem in [12] to establish a criterion for when two abelian varieties over a function field $K$ of characteristic $p$ are isogenous. Specifically, assuming that their endomorphism algebras tensored with $\mathbb{Q}_p$ are division algebras, we prove that if the maximal quotients of minimal slope (i.e., the unique maximal isoclinic quotient corresponding to the minimal slope, defined up to isogeny) of their associated $p$-divisible groups are isogenous, then the abelian varieties themselves are isogenous over $K$. We also extend this result to certain $p$-divisible groups, highlighting the deep connection between isogenies of abelian varieties and the structure of overconvergent $F$-isocrystals.
Dans cet article, nous appliquons le théorème principal de Tsuzuki dans [12] afin d’établir un critère permettant de déterminer quand deux variétés abéliennes sur un corps de fonctions $K$ de caractéristique $p$ sont isogènes. Plus précisément, en supposant que leurs algèbres d’endomorphismes tensorisées par $\mathbb{Q}_p$ sont des algèbres à division, nous démontrons que si les quotients maximaux de pente minimale (c’est-à-dire le quotient isocline maximal unique correspondant à la pente minimale, défini à isogénie près) de leurs groupes $p$-divisibles associés sont isogènes, alors les variétés abéliennes elles-mêmes sont isogènes sur $K$. Nous étendons également ce résultat à certains groupes $p$-divisibles, mettant en évidence le lien profond entre les isogénies de variétés abéliennes et la structure des $F$-isocristaux surconvergents.
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Bruno Chiarellotto 1 ; Fabien Trihan 2
CC-BY 4.0
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publisher = {Acad\'emie des sciences, Paris},
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Bruno Chiarellotto; Fabien Trihan. Isogeny and overconvergence. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 867-871. doi: 10.5802/crmath.774
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