[Observabilité régionale et partielle et contrôlabilité des ondes]
We establish sharp regional observability results for solutions of the wave equation in a bounded domain $\Omega \subset \mathbb{R}^n$, in arbitrary spatial dimension. Assuming the waves are observed on a non-empty open subset $\omega \subset \Omega $ and that the initial data are supported in another open subset $\mathscr{O} \subset \Omega $, we derive estimates for the energy of initial data localized in $\mathscr{O}$, in terms of the energy measured on the observation set $(0,T) \times \omega $. This holds under a suitable geometric condition relating the time horizon $T$ and the pair of subdomains $(\omega , \mathscr{O})$.
Roughly speaking, this geometric condition requires that all rays of geometric optics in $\overline{\Omega }$, emanating from $\overline{\mathscr{O}}$, must reach the observation region $(0,T) \times \omega $. Our result generalizes classical observability results, which recover the total energy of all solutions when the observation set $\omega $ satisfies the so-called Geometric Control Condition (GCC) — a particular case corresponding to $\mathscr{O} = \Omega $.
A notable feature of our approach is that it remains effective in settings where Holmgren’s uniqueness does not guarantee unique continuation. As a consequence of our analysis, unique continuation is nonetheless recovered for wave solutions observed on $(0,T) \times \omega $ with initial data supported in $\mathscr{O}$.
The proof of our result combines a high-frequency observability estimate — based on the propagation of singularities — with a compactness-uniqueness argument that exploits the unique continuation properties of elliptic operators.
By duality, this observability result leads to controllability results for the wave equation, ensuring that the projection of the solution onto $\mathscr{O}$ can be controlled by means of controls supported in $\omega $, with optimal spatial support.
We also present several extensions of the main result, including the case of boundary observations, as well as a characterization of the observable fraction of the energy of the initial data from partial measurements on $(0,T) \times \omega $. Applications to wave control are discussed accordingly.
Nous présentons des résultats d’observabilité régionale pour des solutions de l’équation des ondes dans un domaine borné $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ en dimension arbitraire. En supposant que les ondes sont observées depuis un sous ouvert non-vide $\omega \subset \Omega $ et que les données initiales sont supportées dans un autre ouvert $\mathscr{O} \subset \Omega $, on obtient des estimées sur l’énergie de la donnée initiale dans $\mathscr{O}$ en fonction de l’énergie mesurée dans l’ensemble d’observation $(0,T) \times \omega $. Ce résultat est démontré sous des conditions liant l’horizon de temps $T$ et les sous-domaines $(\omega , \mathscr{O})$.
En termes généraux, cette condition géométrique exige que tous les rayons de l’optique géométrique dans $\overline{\Omega }$, émanant de $\overline{\mathscr{O}}$, atteignent la région d’observation $(0,T) \times \omega $. Notre résultat généralise les résultats classiques d’observabilité, qui permettent de retrouver l’énergie totale de toutes les solutions lorsque l’ensemble d’observation $\omega $ satisfait la condition dite de contrôle géométrique (GCC) — un cas particulier correspondant à $\mathscr{O} = \Omega $.
Une caractéristique notable de notre approche est qu’elle reste efficace dans des contextes où le théorème d’unicité de Holmgren ne garantit pas le prolongement unique. En conséquence de notre analyse, la propriété de prolongement unique est néanmoins retrouvée pour les solutions de l’équation des ondes observées sur $(0,T) \times \omega $, avec des données initiales supportées dans $\mathscr{O}$.
La démonstration de notre résultat combine une estimation d’observabilité en haute fréquence — fondée sur la propagation des singularités — avec un argument de compacité-unicité exploitant les propriétés de prolongement unique des opérateurs elliptiques.
Par dualité, ce résultat d’observabilité conduit à de nouveaux résultats de contrôlabilité pour l’équation des ondes, garantissant que la projection de la solution sur $\mathscr{O}$ peut être contrôlée au moyen de contrôles supportés dans $\omega $, avec un support spatial optimal.
Nous présentons également plusieurs extensions du résultat principal, notamment le cas des observations au bord, ainsi qu’une caractérisation de la fraction observable de l’énergie des données initiales à partir de mesures partielles sur $(0,T) \times \omega $. Des applications au contrôle des ondes sont également discutées.
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Keywords: Observability, wave equations, geometric conditions
Mots-clés : Observabilité, équation des ondes, conditions géométriques
Belhassen Dehman 1, 2 ; Sylvain Ervedoza 3 ; Enrique Zuazua 4, 5, 6
CC-BY 4.0
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Belhassen Dehman; Sylvain Ervedoza; Enrique Zuazua. Regional and partial observability and control of waves. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 1467-1497. doi: 10.5802/crmath.805
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