A new model for the blown film process
Comptes Rendus. Mécanique, Volume 339 (2011) no. 11, pp. 692-699.

Polymer films are generally manufactured by film blowing. In this process the polymer (a polyethylene for example) is molten in a screw extruder and forced into a tubular die (typical dimensions are several decimeters in diameter and about one mm in thickness). At extrusion, it forms a liquid tube which is simultaneously drawn in the vertical direction by nip rolls, inflated by an internal pressure and cooled by external air rings. Typical dimensions of the bubble at take up are 1 m or more in diameter and several 10 μm in thickness. From a mechanical point of view, it is an extensional thin layer flow. Readers not familiar with this process will find easily pictures and schematic descriptions with a web research using keywords blown film extrusion. In order to simplify, it is assumed that the temperature profile is known and that the molten polymer behaves as a Newtonian fluid. This crude rheological behavior allows to capture qualitatively an important part of observed phenomena.

The classical model introduced by Pearson and Petrie in 1970 is based on three hypothesis: the polymer flow in air is steady and axisymmetric and the film is thin. It uses a tangent frame affixed to the membrane to describe kinematics and to compute stress and strain tensors. In this model the balance equations are written using a stretching force and a curvature equation. It results in a nonlinear system of differential equations for velocity, thickness, radius and stress components according to distance z to extrusion. Solution is then computed using a tedious shooting method to determine force and internal pressure. For stability reasons this system of equations is solved from take up to extrusion.

In this Note we derive also balance equations according to a curvilinear abscissa s. It allows us to derive a coupled system of equations for velocity and geometry according to radius r. This strategy which is classically used to determine surfaces of revolution with given mean curvature is rather disconcerting to compute a stretching flow in z direction. However it leads to a model constituted of two coupled equations:

• • Velocity is then solution of a Dirichlet boundary value problem of order two easily solved using a finite elements method;
• • The profile curve of the bubble is solution of a highly nonlinear differential equation of order one leading to a singular integral. Internal pressure appears as a parameter allowing to impose an additional boundary condition.
Despite the fact that the computation of the solution remains technical, this new model seems more natural from a mathematical point of view as it leads, on the one hand, to an elliptic equation to compute velocity, and on the other hand, to an equation of a classical type in differential geometry to determine the generatrix.

Le procédé de soufflage de gaine est un procédé industriel largement utilisé pour la fabrication des films synthétiques. Le principe est le suivant :

• – Le polymère fondu (un polyéthlène par exemple) est extrudé à travers une filière annulaire ;
• – Après extrusion le polymère forme un cylindre liquide qui est bi-étiré : une vitesse de bobinage supérieure à la vitesse moyenne dʼextrusion impose un étirage vertical et une surpression interne permet un étirage radial ;
• – Le film est refroidi par une soufflerie dʼair puis la bulle est pincée entre deux rouleaux (ce qui ferme la bulle et permet la surpression interne) et enfin mise à plat.

Le lecteur non familier trouvera aisément des photographies et schémas du dispositif en utilisant un moteur de recherche et les mots clés blown film extrusion. Du point de vue de la mécanique des milieux continus, il sʼagit dʼun écoulement essentiellement élongationnel (le cisaillement est négligeable) en couche mince. Pour simplifier lʼexposé il est supposé que le profil de température est connu et que le comportement est newtonien, avec une viscosité dépendante de la température selon une loi dʼArrhenius, par exemple.

Le modèle classiquement utilisé est celui de Pearson et Petrie (1970) reposant sur trois hypotheses fondamentales : lʼecoulement du polymère est stationnaire, axisymétrique, et le film est mince. Ce modèle utilise un repère lié à la membrane pour écrire les tenseurs des vitesses de déformation et des contraintes. Lʼéquation dʼéquilibre est écrite en utilisant la force dʼétirage et une équation de courbure. Il résulte de lʼensemble de ces équations un système différentiel en z (qui représente la distance à lʼextrusion sur lʼaxe de symétrie) pour la vitesse, lʼépaisseur, le rayon et les composantes du tenseur des contraintes. Le calcul effectif de la forme de la bulle se fait alors par une délicate méthode de tir permettant lʼajustement de la force dʼétirage et de la surpression interne. Le système différentiel est en général intégré du haut vers le bas pour des raisons de stabilité.

Dans cet article lʼéquation dʼéquilibre dans la direction de lʼétirage est écrite selon lʼabcisse curviligne s. Cela permet ensuite dʼobtenir un système couplé dʼéquations pour la vitesse et la géométrie utilisant la variable r. Cette méthode qui est classiquement utilisée pour calculer les surfaces de révolution de courbure moyenne donnée est nouvelle dans ce domaine. Le modèle obtenu est constituée de deux équations couplées pour la vitesse et le profil de la bulle :

• – La vitesse est solution dʼun problème de Dirichlet avec conditions aux extrémités de lʼintervalle dʼordre 2 qui est facilement résolue par une méthode de type éléments finis ;
• – La génératrice de la bulle est solution dʼune équation différentielle fortement non linéaire dʼordre 1 conduisant à une intégrale singulière. La surpression interne apparaît alors comme un paramètre additionnel permettant de fixer cette courbe à chaque extrémité de lʼintervalle.
En dépit du fait que la résolution du problème demeure technique, ce nouveau modèle semble mathématiquement plus naturel puisquʼil conduit dʼune part à une équation elliptique avec conditions aux bords pour la vitesse et dʼautre part à une équation de type classique en géométrie dans lʼétude des surfaces de révolution.

Accepted:
Published online:
DOI: 10.1016/j.crme.2011.07.005
Keywords: Fluid mechanics, Blown film, Polymer processing, Membrane model, Stretching
Mot clés : Mécanique des fluides, Soufflage de gaine, Mise en forme des polymères, Modèle membrane, Étirage

Yves Demay 1; Didier Clamond 1

1 Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné, UMR CNRS 6621, 06108 Nice cedex 2, France
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Yves Demay; Didier Clamond. A new model for the blown film process. Comptes Rendus. Mécanique, Volume 339 (2011) no. 11, pp. 692-699. doi : 10.1016/j.crme.2011.07.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/articles/10.1016/j.crme.2011.07.005/

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Cited by Sources: