Étalement de la phase et cohérence temporelle d'un gaz de fermions condensé par paires à basse température

Yvan Castin

doi:10.1016/j.crhy.2019.01.003

Étalement de la phase et cohérence temporelle d'un gaz de fermions condensé par paires à basse température

Yvan Castin ¹

¹ Laboratoire Kastler Brossel, ENS–PSL, CNRS, Sorbonne Université et Collège de France, Paris, France

Comptes Rendus. Physique, Volume 20 (2019) no. 6, pp. 540-568.

Résumé
Abstract

Un condensat de paires dans un gaz tridimensionnel de fermions de spin 1/2 isolé, homogène, non polarisé, de taille finie et de température extrêmement basse, mais non nulle, subit au cours du temps un changement de phase $\hat{θ} (t) - \hat{θ} (0)$ avec une composante aléatoire, ne serait-ce que par couplage aux phonons thermiques du gaz. À l'aide de la seconde relation de Josephson quantique reliant $d \hat{θ} / d t$ aux opérateurs nombres d'occupation des modes de phonons et d'équations cinétiques linéarisées donnant l'évolution des fluctuations des nombres d'occupation, nous accédons au comportement de la variance $Var [\hat{θ} (t) - \hat{θ} (0)]$ de ce déphasage aux temps longs devant le temps de collision des phonons. Le cas où la branche de phonons est de départ convexe ressemble à celui du gaz de bosons : les processus collisionnels dominants sont ceux à trois phonons de Beliaev–Landau, si bien que la variance est la somme d'un terme balistique $C t^{2}$ et d'un terme diffusif avec retard $2 D (t - t_{0})$ , dont nous donnons les expressions analytiques à la limite thermodynamique. Le cas concave est beaucoup plus exotique. Nous l'analysons aux échelles de temps courtes devant $T^{- 9}$ , ce qui permet de garder comme seuls processus collisionnels ceux 2 phonons → 2 phonons de Landau–Khalatnikov aux petits angles. Le nombre total de phonons est conservé et les nombres moyens d'occupation des phonons à l'équilibre peuvent admettre un potentiel chimique $μ_{ϕ} < 0$ supposé isotrope. La variance du déphasage est alors la somme d'un terme balistique $C t^{2}$ , d'un terme diffusif $2 D t$ , de termes sous-sous-dominants exotiques $2 A {(π t)}^{1 / 2} + 2 B \ln (t^{1 / 2})$ et d'un terme constant. Nous obtenons analytiquement l'expression des coefficients C, A et B, ainsi que le comportement dominant divergent de D et du terme constant lorsque $μ_{ϕ} / k_{B} T \to 0$ . Si $μ_{ϕ} = 0$ , la partie sous-balistique de la variance devient superdiffusive, de la forme $d_{0} t^{5 / 3}$ , où $d_{0}$ est connu exactement. Pour $μ_{ϕ} / k_{B} T$ infinitésimal non nul, nous trouvons la loi interpolant entre l'étalement superdiffusif et l'étalement diffusif de cette partie sous-balistique. Comme sous-produits, nous obtenons des résultats nouveaux sur le taux d'amortissement Landau–Khalatnikov des phonons, en particulier à $μ_{ϕ} < 0$ .

A condensate of pairs in an isolated, homogeneous, unpolarised, finite-size spin 1/2 tridimensional Fermi gas at an extremely low nonzero temperature undergoes with time a phase change $\hat{θ} (t) - \hat{θ} (0)$ with a random component, due at least to the coupling with the thermal phonons of the gas. Thanks to the quantum second Josephson relation connecting $d \hat{θ} / d t$ to the phonon mode occupation numbers, and to linearised kinetic equations giving the evolution of the occupation number fluctuations, we access the behaviour of the phase change variance $Var [\hat{θ} (t) - \hat{θ} (0)]$ at times much longer than the phonon collision time. The case where the phonon branch has a convex start is similar to the Bose gas case: the leading collisional processes are the Beliaev–Landau three-phonon processes, and the variance is the sum of a ballistic term $C t^{2}$ and of a delayed diffusive term $2 D (t - t_{0})$ , whose analytical expressions are given in the thermodynamic limit. The concave case is much more exotic. It is analysed at time scales much shorter than $T^{- 9}$ , allowing one to restrict to the 2 phonons → 2 phonons small-angle Landau–Khalatnikov processes. The total number of phonons is conserved and the phonon mean occupation numbers at equilibrium can exhibit a chemical potential $μ_{ϕ} < 0$ , assumed to be isotropic. The phase change variance is then the sum of a ballistic term $C t^{2}$ , of a diffusive term $2 D t$ , of exotic subsubleading terms $2 A {(π t)}^{1 / 2} + 2 B \ln (t^{1 / 2})$ , and of a constant term. The analytic expression of the coefficients C, A, and B is obtained, as well as the diverging leading behavior of D and of the constant term when $μ_{ϕ} / k_{B} T \to 0$ . For $μ_{ϕ} = 0$ , the variance sub-ballistic part becomes superdiffusive, of the form $d_{0} t^{5 / 3}$ , where $d_{0}$ is known exactly. For a nonzero infinitesimal $μ_{ϕ} / k_{B} T$ , a law is found, which interpolates between the superdiffusive spreading and the diffusive spreading of the sub-ballistic part. As by-products, new results are obtained on the phonon Landau–Khalatnikov damping rate, in particularly for $μ_{ϕ} < 0$ .

Publié le : 2019-02-08

DOI : 10.1016/j.crhy.2019.01.003

Mot clés : Gaz de fermions, Condensat de paires, Cohérence temporelle, Diffusion de phase, Atomes froids
Keywords: Fermi gases, Pair condensate, Temporal coherence, Phase diffusion, Ultracold atoms

Affiliations des auteurs :

Yvan Castin ¹

¹ Laboratoire Kastler Brossel, ENS–PSL, CNRS, Sorbonne Université et Collège de France, Paris, France

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Yvan Castin. Étalement de la phase et cohérence temporelle d'un gaz de fermions condensé par paires à basse température. Comptes Rendus. Physique, Volume 20 (2019) no. 6, pp. 540-568. doi : 10.1016/j.crhy.2019.01.003. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/physique/articles/10.1016/j.crhy.2019.01.003/

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