Notons n = (n₁, …, n_I) et 0 = (0, …, 0) le vecteur dont les I composantes sont égales à 0. Convenons que n ≥ 0 signifie que n_i ≥ 0 pour tout i. Notons u_j = (0, …, 0, 1, 0, …, 0) le vecteur avec le 1 en j^e position. Les hypothèses du modèle impliquent que

où r = (r₁, …, r_I) ≥ 0 et s = (s₁,… s_I) ≥ 0 sont des vecteurs de nombres entiers positifs ou nuls. En effet, s’il y a n individus dans l’environnement k au temps t, alors il y a pendant chaque intervalle de temps infinitésimal dt une probabilité $n_j{c}_j^{\left(k\right)}\text{d}t$ qu’un événement survienne pour l’un des n_j individus de type j, et aussi une probabilité −Q_k,k dt que l’environnement bascule dans un autre état. Si, en revanche, il y a n individus dans un environnement ℓ ≠ k, il y a une probabilité Q_k,ℓ dt que l’environnement bascule vers l’état k. Enfin, s’il y a r + u_j individus dans l’environnement k, un événement survient chez l’un des (r_j + 1) individus de type j avec une probabilité $\left(r_j+1\right)c_j^{\left(k\right)}\text{d}t\text{,}$ et l’on retrouve à sa place s individus des différents types avec une probabilité ${\pi }_j^{\left(k\right)}\left(\text{s}\right);$ si r + s = n, on se retrouve avec n_i individus de type i pour tout i. Le système (3) a bien la structure (1).

Notons 1 = (1, …, 1) et x = (x₁, …, x_I). Introduisons les fonctions génératrices

où les x_i sont des nombres complexes et les indices n_i des entiers. Puisque ${\sum }_k{\sum }_{n_i\ge 0}{p}^{\left(k\right)}\left(t,n_1,\dots ,n_I\right)=1$, le domaine de convergence de ces séries inclut l’ensemble $\left\{\left(x_1,\dots ,x_I\right);\left|x_i\right|<1\text{pour}\text{tout}i\right\}$ [9] (chapitre IV). Notons

On a $g_j^{\left(k\right)}\left(1\right)=1\text{.}$ Alors

Avec le système (3), on obtient

C’est une généralisation du système (3) dans [7], qui correspond à I = 1.

Introduisons les espérances

Comme $g_j^{\left(k\right)}\left(1\right)=1$, on déduit de l’équation (4), en prenant sa dérivée partielle par rapport à x_i puis en prenant x = 1, que

Alors $\frac{\text{d}\text{E}}{\text{d}t}=W^{\left[1\right]}\text{E}\text{,}$ avec

comme dans l’introduction. Rappelons que ω₁ est la borne spectrale de cette matrice, c’est-à-dire la valeur propre de plus grande partie réelle. Comme Q_k,ℓ ≥ 0 pour k≠ ℓ et $M_{i,j}^{\left(k\right)}\ge 0$ pour i ≠ j, on remarque, en effet, que W^[1] est une matrice dont les coefficients en dehors de la diagonale sont tous ≥ 0. D’après un corollaire du théorème de Perron et Frobenius, W^[1] a bien une valeur propre réelle dominante, c’est-à-dire supérieure à la partie réelle de toutes les autres valeurs propres.

Supposons, pour simplifier, que la matrice Q soit irréductible : pour tout k ≠ ℓ , il existe une suite (k₀, …, k_N) telle que k₀ = k, k_N = ℓ , et $Q_{k_n,k_{n+1}}>0$ pour tout n. Supposons de plus que les matrices M^(k) soient toutes irréductibles. Alors, la matrice $W^{\left[1\right]}$ est elle aussi irréductible. Puisque E(0) ≠ 0, on a

et ω₁ est le taux de croissance ou de décroissance du vecteur des espérances E(t).

Considérons une suite fixée d’environnements engendrés par la chaîne de Markov en temps continu de matrice Q : l’environnement est d’abord k₀ pour t₀ < t < t₁ avec t₀ = 0, puis k₁ pour t₁ < t < t₂, etc. Entre deux sauts de l’environnement, la population évolue selon un processus de branchement en temps continu à plusieurs types dans un environnement constant. À notre processus en temps continu, on peut donc associer un processus en temps discret qui ne considère que l’état de la population aux instants t_n où l’environnement bascule. Les deux processus sont simultanément surcritiques, critiques ou sous-critiques.

Le vecteur des espérances e(t)=(e₁(t), …, e_I(t)) des populations de chaque type, sachant que l’environnement est k_n pour t_n < t < t_n+1, est solution de $\frac{\text{d}\text{e}}{\text{d}t}={\text{M}}^{\left(k_n\right)}\text{e}(t)$ pendant cet intervalle de temps. Notons τ_n = t_n+1 − t_n. Alors, $\text{e}\left(t_{n+1}\right)=\exp \left({\tau }_n{\text{M}}^{\left(k_n\right)}\right)\text{e}\left(t_n\right)\text{.}$ D’après [3] (section∼4), la suite

converge presque sûrement vers une limite indépendante de la suite particulière d’environnements ; de plus, la population dans le processus en temps discret s’éteint presque sûrement dans le cas sous-critique où λ₁ < 0 et ne s’éteint pas avec une probabilité > 0 lorsque λ₁ > 0. Ainsi, le processus en temps continu dans notre modèle de départ est aussi sous-critique quand λ₁ < 0. Si T est la limite de t_n/n quand n → +∞, on remarque que λ₁/T est l’exposant de Lyapounoff du système différentiel pour e(t).

Notons enfin que la borne spectrale ω₁ de la section précédente peut être positive alors que λ₁ est négatif ; c’est déjà possible lorsqu’il n’y a qu’un seul type d’individus [10].

Cherchons des solutions du système (4) de la forme $f^{\left(k\right)}\left(t,\text{x}\right)=e^{\omega t}{F}^{\left(k\right)}\left(\text{x}\right)$ avec des fonctions F^(k) (x) qui ne sont pas toutes identiquement nulles. Ainsi,

En prenant x = 1, on voit que

Ou bien F^(k) (1) = 0 pour tout k, ou bien ω est une valeur propre de la matrice Q.

Si les fonctions F^(k) (x) sont analytiques dans un voisinage de x = 1 (c’est le cas régulier), alors on voit, comme dans la section 2.3, en dérivant l’équation (7) par rapport à x_i et en prenant x = 1, que

où ${\varphi }_i^{\left(k\right)}=\frac{\partial F^{\left(k\right)}}{\partial x_i}\left(1\right)\text{.}$ Donc ou bien $\frac{\partial F^{\left(k\right)}}{\partial x_i}\left(1\right)=0$ pour tout i et tout k, ou bien ω est une valeur propre de $W^{\left[1\right]}$.

Pour tout entier n ≥ 1, pour toute suite d’indices $\left(i_1,\dots ,i_n\right)\in {\left\{1,\dots ,I\right\}}^n\text{,}$ notons

Soit n ≥ 2. Supposons que ${\varphi }_{i_1,i_2,\dots ,i_m}^{\left(k\right)}=0$ pour tous les indices 1 ≤ k ≤ K, 1 ≤ m < n et $\left(i_1,\dots ,i_m\right)\in {\left\{1,\dots ,I\right\}}^m\text{.}$ Dérivons l’équation (7) par rapport à $x_{i_1},\dots ,x_{i_n}$ et prenons x = 1. À cause de l’hypothèse sur les dérivées partielles d’ordre < n et puisque $g_j^{\left(k\right)}\left(1\right)=1\text{,}$ il ne reste que les termes suivants :

pour tout $\left(i_1,\dots ,i_n\right)\in {\left\{1,\dots ,I\right\}}^n$ et 1 ≤ k ≤ K. Donc, ou bien ${\varphi }_{i_1,i_2,\dots ,i_n}^{\left(k\right)}=0$ pour tous les indices i₁, …, i_n et k, ou bien ω est une valeur propre de la matrice carrée $W^{\left[n\right]}$ d’ordre K × Iⁿ définie par les équations linéaires (8).

En résumé, on conclut que si les fonctions propres F^(k) (x) associées à la valeur propre ω sont analytiques dans un voisinage de x = 1, alors, ou bien ω est une valeur propre de la matrice Q, ou bien ω est une valeur propre d’une matrice $W^{\left[n\right]}$ pour un certain n ≥ 1. En effet, si tel n’était pas le cas, on aurait F^(k) (1) = 0 et ${\varphi }_i^{\left(k\right)}=0$ pour tous les indices. D’après ce qui précède, on en déduirait par récurrence que ${\varphi }_{i_1,\dots ,i_n}^{\left(k\right)}=0$ pour tous les indices avec n ≥ 2. D’après le principe du prolongement analytique [9] (chapitre∼IV), l’application F(x) serait identiquement nulle, ce qui n’est pas possible.

Remarque. Pour I = 1, on note plus simplement

L’équation (8) s’écrit alors

On en déduit que ω est une valeur propre de la matrice Q ou d’une matrice $\text{Q}+ndiag\left(M^{\left(1\right)},\dots ,M^{\left(K\right)}\right)$ avec n ≥ 1. La section 4.2 de [11] avait déjà remarqué ce cas particulier pour les processus linéaires de naissances et de mort à un seul type.

Notons Y_n la sous-matrice finie de la matrice (1) avec Z_1,1 dans son coin supérieur gauche et Z_n,n dans son coin inférieur droit. Sa borne spectrale μ_n est telle que μ_n ≤μ_n+1 ≤ 0. En effet, comme dans la proposition 2 de [11], notons 1 le vecteur ligne (1, …, 1) de taille convenable. Alors 1Y_n ≤ 0 = 0 · 1. Donc μ_n ≤ 0 (voir par exemple [12] [théorème 30.1]). Soit v_n ≠ 0 un vecteur colonne tel que Y_nv_n = μ_nv_n et v_n ≥ 0. Soit w_n le vecteur colonne (v_n, 0). Alors Y_n+1w_n ≥ μ_nw_n puisque les matrices Z_n+1,1, …, Z_n+1,n sont toutes à coefficients ≥ 0. On en déduit que μ_n+1 ≥ μ_n d’après [12] (théorème 30.3). De ceci, il résulte aussi que la limite α₁ de μ_n quand n → ∞ existe bien.

Pour chaque environnement k, on se donne comme dans [13] trois matrices de même taille : une matrice de naissance ${\text{A}}^{\left(k\right)}=\left(A_{i,j}^{\left(k\right)}\right)$ à coefficients ≥ 0, une matrice de transfert ${\text{T}}^{\left(k\right)}=\left(T_{i,j}^{\left(k\right)}\right)$ telle que ${\sum }_i{T}_{i,j}^{\left(k\right)}=0$ pour tout j et $T_{i,j}^{\left(k\right)}\le 0$ pour tout i ≠ j, et une matrice diagonale de sortie ${\text{S}}^{\left(k\right)}=\left(S_{i,j}^{\left(k\right)}\right)$ avec $S_{j,j}^{\left(k\right)}\ge 0$ pour tout j. Autrement dit, chaque individu de type j qui se trouve dans l’environnement k a, pendant chaque intervalle de temps infinitésimal dt, une probabilité $A_{i,j}^{\left(k\right)}\text{d}t$ de donner naissance à un nouvel individu de type i, une probabilité $-T_{i,j}^{\left(k\right)}\text{d}t$ de se transformer en un individu de type i pour i ≠ j, et une probabilité $S_{j,j}^{\left(k\right)}\text{d}t$ de mourir ou de sortir de la population. Ainsi,

Posons $B_{i,j}^{\left(k\right)}=T_{i,j}^{\left(k\right)}+S_{i,j}^{\left(k\right)}$. Alors, l’équation (4) s’écrit

qui est la généralisation de l’équation présentée dans la section 2 de [14] au cas d’un environnement aléatoire, ou encore la généralisation de l’équation (5) de [11] au cas de plusieurs types. En distinguant le cas où i = j de celui où i ≠ j, on montre facilement que $M_{i,j}^{\left(k\right)}$, défini par l’équation (5), est donné par $M_{i,j}^{\left(k\right)}=A_{i,j}^{\left(k\right)}-B_{i,j}^{\left(k\right)}\text{.}$ La population est sous-critique lorsque la limite λ₁ de (6) est < 0.

Prenons le cas d’un processus de naissance et de mort où il n’y a que I = 2 types, ce qui permet d’ordonner facilement les différents états de la population. Introduisons les matrices diagonales

Ordonnons les fonctions p^(k) (t,n₁,n₂) selon le nombre total n₁ + n₂ d’individus, et ce nombre fixé, par le nombre d’individus de type 1 puis par l’environnement. Avec cet ordre, on considère le vecteur colonne infini

Alors le système (3) s’écrit aussi dp/dt = Zp(t), où :

–Z est la matrice infinie tridiagonale par blocs

–Z_n,n est la matrice carrée d’ordre (n + 1)K tridiagonale par blocs qui décrit les transitions lorsque le nombre total d’individus est n et lorsque celui-ci ne change pas (saut de l’environnement ou individu transféré dans l’autre des deux types)

–Z_n−1,n est la matrice rectangulaire à nK lignes et (n + 1)K colonnes qui n’a que deux bandes de blocs non nuls et qui décrit les transitions où le nombre total d’individus passe de n à n − 1 (morts ou sorties)

–Z_n+1,n est la matrice rectangulaire à (n + 2)K lignes et (n + 1)K colonnes, également avec deux bandes de blocs non nuls, qui décrit les transitions où le nombre total d’individus passe de n à n + 1 (naissances)

Comme exemple de processus avec deux types d’individus, considérons le cas du modèle épidémique linéaire de [14], où les individus de type 1 sont les personnes infectées, mais pas encore infectieuses (c’est-à-dire dans la phase latente), et les individus de type 2, autrement dit ceux qui sont infectieux. Le cas linéaire sous-critique correspond par exemple à la situation où la maladie est importée dans un environnement aléatoire défavorable à sa propagation. Alors

Le paramètre τ est le taux auquel les personnes dans la phase latente deviennent infectieuses, indépendamment de l’environnement. Le paramètre β^(k) est le taux selon lequel les personnes infectieuses infectent de nouvelles personnes au début d’une épidémie ; il dépend de l’environnement à cause de l’influence du climat sur la probabilité de transmission. Le paramètre γ est le taux de guérison des personnes infectieuses. Ainsi,

Supposons de plus qu’il n’y ait que K = 2 environnements différents et posons :

Le système (9) s’écrit

On a choisi les valeurs numériques suivantes, utilisées dans [14] pour la rougeole : 1/τ = 8 jours, 1/γ = 5 jours. Quant à β^(k), supposons que β⁽¹⁾ = 4ɛ par mois (avec un mois de 30 jours) et que β⁽²⁾ = 8ɛ par mois ; dans [14], le coefficient β variait de manière périodique entre 4 et 8 par mois pour avoir un bon ajustement avec la courbe épidémique. Le paramètre ɛ est destiné à varier. Supposons enfin que q₁ = q₂ = 1, de sorte que l’environnement passe en moyenne la moitié du temps dans chacun des deux états.

Avec une méthode itérative qui tire avantage de la structure tridiagonale par blocs [15], on estime la borne spectrale μ_n de la sous-matrice finie Y_n de Z lorsque n vaut successivement 25, 50, 100 et 200. Cette sous-matrice carrée est d’ordre $2K+3K+\dots +\left(n+1\right)K=n\left(n+3\right)K/2\text{.}$ On estime, par ailleurs, le paramètre critique λ₁ lié à l’exposant de Lyanounoff en utilisant par exemple 5000 sauts de l’environnement. Les résultats sont exposés sur la Fig. 1. Notons que si l’environnement était constant, le processus serait sous-critique pour β < γ.

La figure suggère qu’on a α₁ = ω₁ lorsque ɛ est petit, en particulier tant que β⁽¹⁾ < γ et β⁽²⁾ < γ, ce qui équivaut à $\frac{8\epsilon }{30}<\frac{1}{5}$ ou ɛ < 0,75. Mais α₁ < ω₁ dans une zone où λ₁ reste < 0. Malheureusement, on n’est pas parvenu à déterminer α₁ plus explicitement. On s’attend à ce que α₁ = 0 lorsque λ₁ = 0. Rappelons que, lorsqu’il n’y a qu’un seul type d’individus (I = 1), les matrices M^(k) sont en fait des nombres scalaires M^(k), et Bacaër [7] tendait à montrer dans ce cas que

où $s\left(\cdot \right)$ désigne la borne spectrale. L’analogue de cette formule lorsqu’il y a plusieurs types d’individus reste à déterminer. Dyakonova [4,5] et Vatutin et Wachtel [6] n’y étaient pas non plus parvenus dans le cadre des modèles en temps discret. Sans doute une meilleure compréhension du comportement des fonctions F^(k) (x) près du point singulier x = 1 dans le système (7) permettrait de progresser.