An elementary proof of the uniqueness of invariant product measures for some infinite dimensional processes

Alejandro F. Ramı́rez

doi:10.1016/S1631-073X(02)02201-X

An elementary proof of the uniqueness of invariant product measures for some infinite dimensional processes
[Une preuve élémentaire de l'unicité des mesures invariantes produits pour certains processus en dimension infinie]

Alejandro F. Ramı́rez ¹

¹ Facultad de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Chile, Casilla 306-Correo 22, Santiago 6904411, Chile

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 2, pp. 139-144.

Résumé
Abstract

Considérons une diffusion en dimension infinie avec un espace d'état $T^{Z^{d}}$ , où T est le cercle, et définie par un générateur infinitésimal L qui agit sur les fonctions locales f de la façon suivante : $Lf (η) = \sum_{i \in Z^{d}} (\frac{a_{i}^{2} (η_{i})}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial η_{i}^{2}} + b_{i} (η) \frac{\partial f}{\partial η_{i}})$ . Supposons que les coefficients a_i et b_i sont C^∞, bornés, de portée finie, ont des dérivées partielles du deuxième ordre qui sont uniformément bornées, que les a_i ont une borne inférieure uniforme qui est une constante strictement positive, et que a_i est une fonction seulement de η_i. Supposons qu'il y ait une mesure produit ν qui est invariante. Nous démontrons que si ν est égale à la mesure de Lebesgue ou si d=1,2, alors ν est la seule mesure invariante. D'autre part, si ν est invariante par translation, alors ν est la seule mesure invariante, invariante par translation. Les preuves sont élémentaires. Des résultats similaires peuvent etre démontrés dans le contexte de systèmes de particules avec un espace d'état ${0, 1}^{Z^{d}}$ , avec des taux de saut uniformément positives, à portée finie et bornés.

Consider an infinite dimensional diffusion process with state space $T^{Z^{d}}$ , where T is the circle, and defined by an infinitesimal generator L which acts on local functions f as $Lf (η) = \sum_{i \in Z^{d}} (\frac{a_{i}^{2} (η_{i})}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial η_{i}^{2}} + b_{i} (η) \frac{\partial f}{\partial η_{i}})$ . Suppose that the coefficients a_i and b_i are smooth, bounded, of finite range, have uniformly bounded second order partial derivatives, that a_i are uniformly bounded from below by some strictly positive constant, and that a_i is a function only of η_i. Suppose that there is a product measure ν which is invariant. Then if ν is the Lebesgue measure or if d=1,2, it is the unique invariant measure. Furthermore, if ν is translation invariant, it is the unique invariant, translation invariant measure. The proofs are elementary. Similar results can be proved in the context of an interacting particle system with state space ${0, 1}^{Z^{d}}$ , with uniformly positive bounded flip rates which are finite range.

Reçu le : 2000-08-08
Accepté le : 2001-11-12
Publié le : 2002-01-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02201-X

Affiliations des auteurs :

Alejandro F. Ramı́rez ¹

¹ Facultad de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Chile, Casilla 306-Correo 22, Santiago 6904411, Chile

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Alejandro F. Ramı́rez. An elementary proof of the uniqueness of invariant product measures for some infinite dimensional processes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 2, pp. 139-144. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02201-X. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02201-X/

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