Comptes Rendus
no. 3
Une nouvelle définition de l'invariant de Casson
Bernard Perron1
1 Université de Bourgogne, Laboratoire de topologie, UMR 5584 du CNRS, 9, avenue Alain Savary, BP 47870, 21078 Dijon cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 3, pp. 199-204.

Dans [4], en s'inspirant de [2], on a défini un invariant Δ(f)∈ℚ, pour tout f∈ℳ g,1 , le groupe modulaire d'une surface compacte, connexe, orientée, à bord connexe, de genre g. Pour f∈𝒯 g,1 (un certain sous-groupe du groupe de Torelli), on a montré dans [4], en utilisant la formule de chirurgie de Casson, que Δ(f) coı̈ncide avec l'invariant de Casson [1] de la sphère d'homologie entière Mf, obtenue en recollant deux corps d'anses par f. Le but de cette Note est de montrer directement (i.e. sans référence à Casson) que Δ(f), pour f∈𝒯 g,1 , ne dépend que de la 3-variété Mf. La formule de chirurgie, qui est l'un des points difficiles chez Casson, résulte pratiquement de la définition de Δ(f).

In [4], following [2], we have defined an invariant Δ(f)∈ℚ, for any f∈ℳ g,1 , the mapping class group of a compact, connected, oriented surface with connected boundary, genus g. For f∈𝒯 g,1 (a certain subgroup of the Torelli group), we have shown in [4], using Casson surgery formula, that Δ(f) coı̈ncides with the Casson invariant [1] of the homology sphere Mf, obtained by gluing two handlebodies along f. The purpose of this Note is to prove directly (i.e., without reference to Casson) that Δ(f), for f∈𝒯 g,1 , depends only on Mf. The surgery formula, which is a difficult point in Casson version, follows almost immediatly from the definition of Δ(f).

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02208-2
Bernard Perron 1

1 Université de Bourgogne, Laboratoire de topologie, UMR 5584 du CNRS, 9, avenue Alain Savary, BP 47870, 21078 Dijon cedex, France 
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Bernard Perron. Une nouvelle définition de l'invariant de Casson. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 3, pp. 199-204. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02208-2. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02208-2/

[1] L. Guillou; A. Marin Notes sur l'invariant de Casson des sphères d'homologie de dimension trois, L'Enseignement Mathématique, Volume 38 (1992) no. 3–4, pp. 233-290

[2] S. Morita Casson's invariant for homology 3-spheres and characteristic classes of surface bundles I, Topology, Volume 28 (1989), pp. 305-323

[3] J. Milnor Introduction to Algebraic K-theory, Ann. of Math. Studies, 72, Princeton University Press, 1971

[4] B. Perron, Johnson's and Morita's results on the mapping class group revisited. Part I: Elementary constructions of Morita's extensions. Part II: On the Casson's invariant, Preprint Université de Bourgogne, Novembre 2000–Mars 2001

[5] K. Reidemeister Zur dreidimensionalen Topologie, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, Volume 9 (1933), pp. 189-194

[6] D. Rolfsen Knots and Links, Berkeley, 1976

[7] N. Saveliev Lectures on the Topology of 3-Manifolds, De Gruyter Textbook, 1999

[8] S. Suzuki On homeomorphisms of a 3-dimensional handlebody, Canad. J. Math., Volume 29 (1977), pp. 111-124

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