Non-explosion en temps grand et stabilité de solutions globales des équations de Navier–Stokes

Isabelle Gallagher; Dragoş Iftimie; Fabrice Planchon

doi:10.1016/S1631-073X(02)02255-0

Non-explosion en temps grand et stabilité de solutions globales des équations de Navier–Stokes

Isabelle Gallagher ¹ ; Dragoş Iftimie ^1,² ; Fabrice Planchon ³

¹ Centre de mathématiques, UMR 7640, École polytechnique, 91128 Palaiseau, France
² IRMAR, UMR 6625, Université de Rennes 1, campus de Beaulieu, 35042 Rennes, France
³ Laboratoire d'analyse numérique, UMR 7598, boîte 187, Université Paris-VI, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 4, pp. 289-292.

Résumé
Abstract

Nous nous donnons a priori une solution globale des équations de Navier–Stokes incompressibles dans $ℝ^{3}$ , dans la classe $C_{t} ({\dot{H}}^{1 / 2})$ . Nous montrons successivement que la norme ${\dot{H}}^{1 / 2}$ tend vers 0 à l'infini, que cette norme contrôle la norme $L_{t}^{2} ({\dot{H}}^{3 / 2})$ , et qu'une telle solution globale est stable.

Suppose there exists a global solution u to the incompressible Navier–Stokes equations, such that $u \in C_{t} ({\dot{H}}^{1 / 2})$ . We prove that its ${\dot{H}}^{1 / 2}$ norm goes to 0 at infinity. We next use this fact to control the $L_{t}^{2} ({\dot{H}}^{3 / 2})$ norm of u, and finally we prove that such a solution is stable.

Accepté le : 2001-12-17
Publié le : 2002-01-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02255-0

Affiliations des auteurs :

Isabelle Gallagher ¹ ; Dragoş Iftimie ^{1, 2} ; Fabrice Planchon ³

¹ Centre de mathématiques, UMR 7640, École polytechnique, 91128 Palaiseau, France
² IRMAR, UMR 6625, Université de Rennes 1, campus de Beaulieu, 35042 Rennes, France
³ Laboratoire d'analyse numérique, UMR 7598, boîte 187, Université Paris-VI, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France

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Isabelle Gallagher; Dragoş Iftimie; Fabrice Planchon. Non-explosion en temps grand et stabilité de solutions globales des équations de Navier–Stokes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 4, pp. 289-292. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02255-0. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02255-0/

Bibliographie
Cité par

[1] C.P. Calderón Existence of weak solutions for the Navier–Stokes equations with initial data in L^p, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 318 (1990) no. 1, pp. 179-200

[2] M. Cannone, F. Planchon, Fonctions de Lyapunov pour les équations de Navier–Stokes, Séminaire sur les Équations aux Dérivées Partielles, 1999–2000, Exp. No. XII, 7. École Polytech., Palaiseau, 2000

[3] J.-Y. Chemin Remarques sur l'existence globale pour le système de Navier–Stokes incompressible, SIAM J. Math. Anal., Volume 23 (1992) no. 1, pp. 20-28

[4] H. Fujita; T. Kato On the Navier–Stokes initial value problem. I, Arch. Rational Mech. Anal., Volume 16 (1964), pp. 269-315

[5] I. Gallagher, F. Planchon, On infinite energy solutions to the Navier–Stokes equations: global 2D existence and 3D weak-strong uniqueness. Arch. Rational Mech. Anal. (2001) (à paraître)

[6] I. Gallagher, D. Iftimie, F. Planchon, Non blow-up at infinity and stability of global solutions to the Navier–Stokes equations, Manuscript

[7] P.-G. Lemarié-Rieusset, Recent progress in the Navier–Stokes problem, à paraître à CRC Press

[8] J. Leray Sur le mouvement d'un liquide visqueux remplissant l'espace, Acta Math., Volume 63 (1934), pp. 193-248

[9] F. Planchon Global strong solutions in Sobolev or Lebesgue spaces to the incompressible Navier–Stokes equations in $R^{3}$ , Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Volume 13 (1996), pp. 319-336

[10] G. Ponce; R. Racke; T. Sideris; E. Titi Global stability of large solutions to the 3D Navier–Stokes equations, Comm. Math. Phys., Volume 159 (1994) no. 2, pp. 329-341

[11] P. Tchamitchian, Communication personnelle

[12] W. von Wahl The Equations of Navier–Stokes and Abstract Parabolic Equations, Vieweg, Braunschweig, 1985

Cité par Sources :

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