Comptes Rendus
no. 6
On simultaneous uniformization and local nonuniformizability
[Sur uniformisation simultanée et nonuniformisabilité locale]
Alexey Glutsyuk1
1 CNRS, Unité de mathématiques pures et appliquées, MR, École normale supérieure de Lyon, 46, allée d'Italie, 69364 Lyon cedex 07, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 6, pp. 489-494.

On montre l'existence d'un feuilletage holomorphe de dimension un (à singularités isolées non effaçables) sur une surface algébrique affine lisse appropriée de dimension 2 qui est tangent à un champ vectoriel rationnel, et tel qu'aucune famille de feuilles intersectant une section transverse n'admet d'uniformisation holomorphe paramétrée par une famille d'ouverts simplement connexes de ℂ¯. On montre, qu'un tel feuilletage peut être choisi transversalement affin, ayant une intégrale première de type Liouville, toutes les feuilles hyperboliques et denses et un cycle attractif. Cela étend le résultat précédent de l'auteur (donnant la réponse négative à la conjecture d'Ilyachenko sur l'uniformisation simultanée) et répond négativement à une version locale de cette conjecture proposée récemment par Chtcherbakov.

We prove existence of a one-dimensional holomorphic foliation (with isolated irremovable singularities) tangent to a rational vector field on appropriate affine algebraic surface of dimension 2 such that the family of leaves intersecting arbitrary given cross-section does not admit a uniformization holomorphic in the parameter by a family of simply connected domains in ℂ¯. We show that such a foliation can be chosen transversally affine, having a Liouvillian first integral, with dense and hyperbolic leaves and an attracting cycle. This extends the author's result [4] giving a negative answer to Ilyashenko's simultaneous uniformization conjecture and answers negatively to the local version of this conjecture recently proposed by Shcherbakov.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02268-9

Alexey Glutsyuk 1

1 CNRS, Unité de mathématiques pures et appliquées, MR, École normale supérieure de Lyon, 46, allée d'Italie, 69364 Lyon cedex 07, France 
@article{CRMATH_2002__334_6_489_0,
     author = {Alexey Glutsyuk},
     title = {On simultaneous uniformization and local nonuniformizability},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {489--494},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {334},
     number = {6},
     year = {2002},
     doi = {10.1016/S1631-073X(02)02268-9},
     language = {en},
}
TY  - JOUR
AU  - Alexey Glutsyuk
TI  - On simultaneous uniformization and local nonuniformizability
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2002
SP  - 489
EP  - 494
VL  - 334
IS  - 6
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/S1631-073X(02)02268-9
LA  - en
ID  - CRMATH_2002__334_6_489_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Alexey Glutsyuk
%T On simultaneous uniformization and local nonuniformizability
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2002
%P 489-494
%V 334
%N 6
%I Elsevier
%R 10.1016/S1631-073X(02)02268-9
%G en
%F CRMATH_2002__334_6_489_0
Alexey Glutsyuk. On simultaneous uniformization and local nonuniformizability. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 6, pp. 489-494. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02268-9. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02268-9/

[1] C. Bănică; O. Forster Complete intersections in Stein manifolds, Manuscripta Math., Volume 37 (1982) no. 3, pp. 343-356

[2] Bo Berndtsson; T.J. Ransford Analytic multifunctions, the ∂¯-equation, and a proof of the corona theorem, Pacific J. Math., Volume 124 (1986) no. 1, pp. 57-72

[3] L. Bers Simultaneous uniformization, Bull. Amer. Math. Soc., Volume 66 (1960), pp. 94-97

[4] A. Glutsyuk Nonuniformizable skew cylinders. A counterexample to the simultaneous uniformization problem, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 332 (2001) no. 3, pp. 209-214

[5] M. Gromov Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds, Invent. Math., Volume 82 (1985) no. 2, pp. 307-347

[6] Yu.S. Ilyashenko Foliations by analytic curves, Mat. Sb., Volume 88 (1972) no. 130, pp. 558-577

[7] Yu.S. Ilyashenko Nondegenerate B-groups, Soviet Math. Dokl., Volume 14 (1973), pp. 207-210

[8] Yu.S. Ilyashenko Covering manifolds for analytic families of leaves of foliations by analytic curves, Topol. Methods Nonlinear Anal., Volume 11 (1998) no. 2, pp. 361-373

[9] Yu.S. Ilyashenko; A.A. Shcherbakov Skew cylinders and simultaneous uniformization, Proc. Steklov Inst. Math., Volume 213 (1996), pp. 112-123

[10] T. Nishino Nouvelles recherches sur les fonctions entières de plusieurs variables complexes (II). Fonctions entières qui se reduisent à celles d'une variable, J. Math. Kyoto Univ., Volume 9 (1969) no. 2, pp. 221-274

[11] A.A. Shcherbakov The exhaustion method for skew cylinders, Algebra i Analiz, Volume 12 (2000) no. 5, pp. 178-206

[12] K. Stein Überlagerungen holomorph-vollständiger komplexer Räume, Arch. Math., Volume 7 (1956) no. 5, pp. 354-361

  • A. A. Shcherbakov Uniformization of Foliations with Hyperbolic Leaves and the Beltrami Equation with Parameters, Functional Analysis and Its Applications, Volume 53 (2019) no. 3, p. 237 | DOI:10.1134/s0016266319030109
  • Arsenii Alekseevich Shcherbakov Униформизация слоений с гиперболическими листами и уравнение Бельтрами с параметрами, Функциональный анализ и его приложения, Volume 53 (2019) no. 3, p. 98 | DOI:10.4213/faa3638
  • Евгений Михайлович Чирка; Evgenii Mikhailovich Chirka Голоморфные движения и униформизация голоморфных семейств римановых поверхностей, Успехи математических наук, Volume 67 (2012) no. 6, p. 125 | DOI:10.4213/rm9499
  • Yu. S. Ilyashenko Persistence theorems and simultaneous uniformization, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Volume 254 (2006) no. 1, p. 184 | DOI:10.1134/s0081543806030096
  • Yulij Ilyashenko Selected topics in differential equations with real and complex time, Normal Forms, Bifurcations and Finiteness Problems in Differential Equations (2004), p. 317 | DOI:10.1007/978-94-007-1025-2_9

Cité par 5 documents. Sources : Crossref

Commentaires - Politique