Rigidité d'Einstein du plan hyperbolique complexe

Yann Rollin

doi:10.1016/S1631-073X(02)02323-3

Rigidité d'Einstein du plan hyperbolique complexe

Yann Rollin ¹

¹ Department of Mathematics & Statistics, University of Edinburgh, James Clerk Maxwell Building, King's Buildings, Mayfield Road, Edinburgh EH9 3JZ, Scotland, UK

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 8, pp. 671-676.

Résumé
Abstract

Nous démontrons que toute métrique d'Einstein sur $B^{4} \subset ℂ^{2}$ , asymptotique à la métrique de Bergmann, lui est égale à un difféomorphisme près. La démonstration repose sur la construction d'une solution des équations de Seiberg–Witten dans ce contexte de volume infini. Pour cette raison, et plus généralement, si M⁴ est dotée d'un bord à l'infini muni d'une structure CR, d'une structure spin^c adaptée dont l'invariant de Kronheimer–Mrowka est non nul et d'une métrique d'Einstein asymptotiquement hyperbolique complexe, nous produisons une solution des équations de Seiberg–Witten avec une propriété de forte décroissance exponentielle.

We prove that every Einstein metric on $B^{4} \subset ℂ^{2}$ asymptotic to the Bergmann metric is equal to it up to a diffeomorphism. The proof relies on the construction of a solution of Seiberg–Witten equations in this infinite volume setting. Therefore, and more generally, if M⁴ is a manifold with a CR-boundary at infinity, an adapted spin^c-structure which has a nonzero Kronheimer–Mrowka invariant and an asymptotically complex hyperbolic Einstein metric, we produce a solution of Seiberg–Witten equations with an strong exponential decay property.

Reçu le : 2001-12-18
Révisé le : 2002-02-19
Publié le : 2002-01-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02323-3

Affiliations des auteurs :

Yann Rollin ¹

¹ Department of Mathematics & Statistics, University of Edinburgh, James Clerk Maxwell Building, King's Buildings, Mayfield Road, Edinburgh EH9 3JZ, Scotland, UK

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Yann Rollin. Rigidité d'Einstein du plan hyperbolique complexe. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 8, pp. 671-676. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02323-3. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02323-3/

Bibliographie
Cité par

[1] O. Biquard Métriques d'Einstein asymptotiquement symétriques, Astérisque, Volume 265 (2000)

[2] O. Biquard, Communication privée, Décembre 2001

[3] O. Biquard, M. Herzlich, A Burns–Epstein invariant for ACHE manifolds, Preprint arXiv math.DG/0111218, 2001

[4] S.Y. Cheng; S.T. Yau On the existence of a complete Kähler metric on non-compact complex manifolds and the regularity of Fefferman's equation, Comm. Pure. Appl. Math., Volume 33 (1980), pp. 507-544

[5] P.B. Kronheimer; T.S. Mrowka Monopoles and contact structures, Invent. Math., Volume 130 (1997), pp. 209-255

[6] C. Le Brun Einstein metrics and Mostow rigidity, Math. Res. Lett., Volume 2 (1995), pp. 1-8

Cité par Sources :

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